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兩題二次方程
1. 早前學生問了道不錯的題： Refer to the figure below. If and are x-coordinates of P and Q respectively such that , find the value(s) of m. 這是基本題目，同學應會解之如下： 因 得 or 完工嗎？ 未。 ＝ ＝ ＝ 停一停，想一想 ＝ ＝ ＝ 開估。圖像有個條件：P 的...
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實數問題複數解決
幾個月前的中學數學科諮詢文件見 M1，M2 外的 Further Mathematics 內容，重遇會考附加數學一些內容： 運用當中一個特性 ，輕易得出下式： 式子在說：平方和的積，仍是平方和。 現在的中學生，大部分不會知道甚麼是 ，甚麼是 ，從而看不到證明的美麗。不過，我們仍可勉強看出一個道理：實數的問題，可以透過複數幫忙解決，實則虛之，見下： 我們慬因式分解 答案是...
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4
剛才偷偷在教員室想出以下式子： 如何得？ 中二同學，首先簡化下式看看： 如果懶唔想做，可以： http://www.wolframalpha.com/input/?i=k%5E2-(k%2B1)%5E2-(k%2B2)%5E2%2B(k%2B3)%5E2 原來 上式說明，隨便代入 值，答案都是 4。 於是 （put ） （put ） （put ） 諸如此類～ 而 所以，依從上述程序，777...
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重積求面積
1.某中四題： 求直線 , , 及 圍出來的平行四邊形之面積。 可用重積分處理如下 設 為該平行四邊形區域，則面積是 設 得 故，雅可比行列式（Jacobian determinant） 是 故面積為 中四同學可以驗算一下。 2.某 M2 題 求曲線 , , 及 圍出的區域（下圖橙色者）之面積。 設 為該區域，則面積是 設 得 故， 是 故面積為 M2 同學可以驗算一下。 後記：此例有 求...
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最小值
教中三不等式時，跟同學討論過： 已知 我們不能說 的最小值是 3， 除非 真的可以等於 3。 舉一例。 對實數 ，設 。 易知 ， 但 的最小值不是 3，而是 4。 多談一例。 我們知道，對於任何正數 ，必有 為何？ 只要考慮 即是說 好了，這裡有一道舊題： 設正數 滿足 ，求 的最小值。 以下是錯解： 因 同理 把上兩式加起來，便有 ……………….. (*) 所以 的最小值是 8 嗎？錯！ 雖然...
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畢氏定理日
15/8/17，畢氏定理日，讓我紀念。錯過了之前的 17/8/15，下次是 16/12/20 吧。 利用邊長為 3-4-5 的直角三角形及其內圓，可得美麗結果： 無言如下 （當然，若一早知 的話，推論上式乃一步之遙。） 進深一點，畢氏定理是這樣的： 詳見 http://homepage.divms.uiowa.edu/~frohman/pyth2.pdf
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又因式分解
以前中二教的因式分解，今年放在中三才教，內容包括 cross method 和 sums and differences in cubes. 關於十字相乘法，十多年前的師訓已談過另一個方法，就是把中項裂開成兩項，再用 grouping 云云，以幫助成績稍遜的學生。可是利用計算機做因式分解的誘惑太大，我班有些中三仔，一早已用計算機了。 對於他們，唯有給一些 EQ（easy...
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core math 某題：標準差
把某統計資料集合，比如 以點圖（Dot plot）表示如下： 我們可以找出這集的標準差（standard deviation），電腦代勞，見下： http://www.wolframalpha.com/input/?i=standard+deviation+of+1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,4,4,4,5 好了，現有兩組資料，分別以紅藍兩種顏色表示如下： 問：兩組資料集的標準差相等嗎？...
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一題多解
數學可以帶出其中一個教訓：解決問題的辦法並非單一。 （不過有多少學生解完題目，會如此神心尋求另外解法？面對極度規範化的考題，方法多數固定，對一些同學來說，莫說一題多解，更多時是找不到解法。） 例子一 不知初中同學你會有多少辦法處理下題： 證明： 方法一：相似三角 因 （A.A.） 故 即 方法二：畢氏定理 即 方法三：面積及畢氏定理 []=[]+[] 即 總之捉到老鼠就係好貓吧～ 例子二 求 值。...
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作正五邊形
中二課本仍有教授（在定圓上）構作正五邊形的方法，見下 網友問原理為何？ 答：參考上圖，設圓半徑為 ，則 ，由畢氏知 ，即 ，於是 ；再由畢氏知 那麼，圓內接正五邊形邊長為何？設圓半徑同樣是 ，正五邊形其中一條邊為 ，見下圖。 則圓心角為 ，不難得出 最後，我們就要證明 這不過是以前附加數學常見題目，現在給 M2 同學做做： (a) 證明 (b) 證明 是 的其中一個根（root）。 （提示：by...
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平行四邊形的條件
課堂談以下題目： 即是，有一對角相等及一對邊平行，則可得平行四邊形。理由：兩對對角相等。 之後我問：若有一對角相等及一對邊相等（見下圖），也可得平行四邊形嗎？ 可以？還是不可？同學，自行探究一下吧： https://www.geogebra.org/m/kHFgJV9h 今年不知有否同學仔做到以下題目： In a quadrilateral ABCD, AC bisects DB, angle...
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as gs
同事擬 core mathematics 某統測題如下： Derive the formula for the sum of first terms of the following sequence in terms of , where . 我班沒人得出答案。沒所謂，全卷 67 分，這必答題佔 6 分而已。 上述數列稱為 arithmetico-geometric sequence，我以前教...
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等邊三角形
中學時遇上一些數題，特別有印象，這次談有關等邊三角形。 e.g. 1 下圖 ，， 皆為等邊三角形 證明 是平行四邊形。 只要看到當中的全等三角形，見下圖紅色者： 立知 及 ，故 為平行四邊形（opp. sides =） 運用複數解之亦頗容易。 把圖放在 Argand plane，設 分別對應點 的複數。 命 則 上述兩式相差，曰 證畢。（因為上式即是說 ）...
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某類三角恆等式記法
首先要知 之後，畫以下圖像： 好了，比如想知 是甚麼？只要從 出發，順時針轉 ，到達 位置： 即 又例如 是甚麼？只要從 出發，順時針轉 ，到達 位置： 即 又例如 是甚麼？ 即 只要從 出發，今次是逆時針轉 ，到達 位置： 即 至於 ，只要畫下圖 用法同上，從略。
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懷古-開方2
公元前 8 世紀，古印度數學家 Baudhayana 給出以下結果： 左邊約為 1.41421356237… 右邊計出 1.41421568627…，可見準確度達小數點後 5 位。 古人如何得出結果？ 有人以所謂幾何方法解之。考慮兩個面積皆為 1 的正方形： 想像把其中一個切出一些長方形，和另一正方形拼砌，希望做出面積為 2 的正方形。比如，先把右邊正方形平分 3 份： 把 2 個長方形拼砌如下：...
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度數弧度微積分
（免插聲明：本篇頗無聊，高手見諒） 請問 at 是多少？ M2 學生應知 代入 ，得 完。 但 是基於考慮 是以弧度（radian）量度下的產物，若題目的 是以度數（degree）量度如何？ 試用圖像想想，求「 at 」就是求「 圖像於 處切線（tangent）的斜率」。 隨便用 desmos 繪畫 的圖像： 上圖的 是以弧度量度，在 處的切線，目測似是斜角 45 度線，即斜率為 1 無誤。...
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黃金比某級數
早前見某個和黃金比（Golden ratio）有關的級數（series）： 其中 乃黃金比也。 高中同學當然可以等比級數和（sum of an infinite geometric series）秒之，這裡介紹一個所謂無言證明。 如果 是黃金比，即以下長方形 去掉正方形後，餘下的長方形和原先的長方形相似，即 AEFD ~ ADCB，見下 於是 即 …………… (*) 故可把圖重畫成 由...
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某求導題
早前中四測驗某題： If , find at . 建議答案如下:兩邊取平方 從而得 所以， 但有學生給出以下解： ……………….. (*) 出現 這項，代入 時無定義（undefined），即 無定義嗎？ 事實上，當 ，(*) 應已不能出現。 現把 的圖像畫出，看看究竟如何： 奇怪？好像有垂直漸近線？把圖放大： 再放大： 再放大： 原來並非垂直漸近線，且在 處似乎只有左導數（left hand...
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互斥與獨立
免插聲明：純粹記錄某堂的片段，高手見諒。 今天上中五數學堂頗開心，可以和同學多點交流。剛開始談條件概率（conditional probability），有同學看到兩個分開的圈圈代表的事件： 問它們是彼此獨立的事件（independent events）嗎？ 因為從圖看來，兩件事似乎不會影響對方。 這看法似乎頗合理：兩個東西分開，它們就冇影響，冇關。可是，數學上談獨立，另有所指；...
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tan(89.99 度)
那天觀課，同事教 trigonometric graphs。談到 tangent graph 在 90 度處斷開，著同學試 tan(89∘), tan(89.9∘), tan(89.99∘) 之類，可見結果愈來愈大，去到 90 就無限大云云。 N 日後，有學生問我，何解相鄰結果似乎有 10 倍變化？見下： 當時我只叫他自行證明，現略答如下。 修 M2 的同學知： 意思是當 值很小， 的值和...
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