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相同特徵值及凱萊哈密頓
免插聲明：本文只是中學程度的討論，高手見諒。 續上個 post： https://johnmayhk.wordpress.com/2016/07/22/flf-and-matrix/ 的特徵方程為 ，即 留意上式係數， 就是矩陣 的跡（trace），即對角元的和，也是特徵值的和（sum of roots）；而 就是矩陣 的行列式（determinant），也是特徵值的積（product of...
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點解2
問 簡單 是也。 如果變成中四 M2 的 MI 習題： 利用數學歸納法證明，對於任何正整數 ， 不知同學會否覺得不太容易？ 利用下圖，或可略略帶出式子的意義。先把「垂直」的點數加起，即 再把「水平」的點數加起，即 ，考慮點的總數為 ，輕易得 利用同樣的圖，考慮不同的數算方法： 不難得出另一個結果： 現在多寫個簡單例子： 考慮 , ，問長方形 （包邊界）上有多少格點（grid...
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講兩題
對，seize the moment，抓緊此際講兩題。 （注：上圖式子是 moment 的定義。特別地，當 k=2，它就是方差 variance。） （一） 修物理的同學一定學過透鏡公式（lens formula） 它描述了 f 焦距（focal length），u 物距（object distance）及 v 像距（image distance）三者關係。 如何證明？以直線方程（equation...
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old trick is so…
偶見網上某題： 若 （），求 的值。 偶見網民解之： ………. (1) ………. (2) 如果你是初中學生，可能問：如何得出 (1)？ 此招似乎是我中學時教應數的馮老師不經意地用過，對於煩瑣的應數力學運算或有快少少幫助。對於前輩教員，跳落 (1)，不過是輕鬆平常的步驟，但由入職至今，此招我從未教過學生。或許前輩們還有不少奇招異能已無聲湮沒失傳；或許這類知識能力，今天看是無聊透頂，只要上網，比如去...
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小心出題
早前給學生做某高中數學教科書的某習題： 因為課題涉及 cosine law，於是多數學生解 (a)，曰： m 但有少部份學生，以初中手法處理，考慮兩個直角三角形，得 m 我用計算機檢查無誤，奇怪，為何兩個正確方法，竟然得出不同答案？ 首先我問，兩個方法得出的答案相同是可以證明嗎？即下圖的設定 得 （這不難證，修 M2 的同學試試。其實這式已暗示： 不是任意安排，給定 應得到某 。）...
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因式分解與畢氏數組
有些二次式 ，可以（在整數環上）因式分解為 但一般來說，以下四式 未必全部可以。 當然有些情況可以，例如 原來考慮邊長為畢氏三元數（Pythagorean triple）的直角三角形，設 分別是斜邊長及面積，則保證對應的四個二次式都可（在整數環上）因式分解。 比如考慮 (3,4,5)， 其斜邊和面積分別是 5 和 6，對應二次式就是 。 又例如，考慮畢氏三元數 (5,12,13)，即...
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某經典幾何題
三個大小不同的圓，沒有一個完全在另一個之內。對於每兩個圓，可畫出兩條公共外切線（common external tangents），及其交點，即下圖的 P，Q，R。 問： P，Q，R 共線（collinear）嗎？同學可以先探究一下（輕輕地改變 A 和 X 的位置吧～）： https://www.geogebra.org/m/WPk7sZUJ （若有興趣知如何構作兩圓的外公共切線，可看文末的附錄*）...
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三次方程某解法
如何解三次方程（cubic equation） ？ 這裡有個解法： 變成一條 quadratic equation in ‘5’，於是 所以得到兩條 quadratic equation in x，從而可解出 x。 把 x 和數字 5 的角色互換，方法有趣，但問題是三次方程有三個根，而上法得兩條二次方程，不是共有四個根嗎？難道當中有重根（repeated roots）？ 非也。 上面其中一步：...
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不排在一起
講兩題。 1. m 男 n 女排 1 行 (a) 若女不排在一起，排列數是？ 先放置 m 男，共 m! 種排列。 男旁留一空位放置女，共 (m+1) 空位。 情況 1：若 ，則必有兩女排在一起，故排列數是為零。 情況 2：若 ，則放置女之排列數為 ，故總排列數為 。 (b) 若男不排在一起，排列數是？ 先放置 n 女，共 n! 種排列。 女旁留一空位放置男，共 (n+1) 空位。 情況 1：若...
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盛水水深
常見初中數學題： 圓錐容器高 H 單位。容器內盛水，垂直倒置時水深 h 單位（Fig. 1），把其倒轉平放水平面後（Fig.2），求水深。 利用相似形體積比等於對應邊比之立方，不難得 ，故水深為 單位。 早前同事出題：如果容器是橢圓體，同樣問題如何解決？ 具體一點，參考下圖 容器形狀是橢圓 環繞 y-軸轉出來的旋轉體。 容器內盛水，水深 h 單位（Fig. 3）把容器沿 O 轉 90...
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無聊 bonus
隨便出所謂 bonus 題： Solve the following equations for real . 1. 2. 中四同學可以試試。 其實它們是很無聊的。 出題形態是考慮： 設正數 ，；若 且 ， 則 要達成 的效果可以有 ………. (1) 或 ………. (2) 諸如此類。 利用 (1)，隨便代入 得 利用 (2)，隨便代入 得 咁就出到題答案係零嘅所謂 bonus 了～
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答問
網友問： 若 求 其實我沒有甚麼好方法，不過是死爆如下： 考慮 其中 又因 故此 最後證明 假設 這是不容許的，否則給定的 是無意義。 於是 後記：開頭我搞甚麼 cyclic polynomials 之類的東西，很煩，最後只想到上法，估計應有更好方法，盼高手賜教。
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行列式特性
觀同事課，談因式分解行列式（determinant）。 他先給最簡單例子： Factorize . 我估熟練者很快會把第一行化做 ，再抽之，即 但對剛接解行列式特性的學生，未必如此想。當老師問，有人答 之後沒有繼續下去，因為老師仍有很多東西要講，最後都是展示抽出 的方法。 那我幫學生完成之 之後老師給了一道經典題目： Factorize . 注：本題起碼見於 Tranter 的 Techniques...
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人類總是
#無聊慎入 很久沒（被安排）教中一，查簿時看到中一學生犯了不少運算錯誤，比如 Solve . 學生給的第一步是 這不過是云云眾多運算錯誤的一個，且是錯得很合理，只是程序先後出了點問題，變成學生堅實的信仰。 中三學生在坐標幾何一課偶爾要解方程如下： Solve . 學生給的第一步是 他們也不知道錯在哪裡，問：為何第一步要做 squaring？而不是 taking square root？...
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三垂線定理
（一）前言 第一次聽「三垂線定理」，大抵是今年二月在大同的群組： 第二次聽「三垂線定理」是四月初在中小學數學修訂諮詢會： （詳見：http://www.edb.gov.hk/attachment/tc/curriculum-development/kla/ma/PMCForum_170406_07_web.pdf） 其實，「三垂線定理」的實質內容，起碼見於 2007 年會考附加數學卷 Q.14...
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逆矩陣
趁未失憶，匆匆寫下，高手見諒。 教科書稱：對於方陣（square matrix），若存在方陣 使 則稱 為 的逆矩陣，記之曰 。 做習題時，學生檢查了 後，著他不用浪費時間再檢查 ，說： 一定是 ，放心稱 便可。 學生普遍知道 不一定等於 ， 但為何：若 ，則 ？ 見過以下的所謂證明： 故 上面說的是，假設存在那個 ，則那 必然是 ；問題是如何確保該 真的存在？...
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Transformation of graphs
Share some points about the topic ‘transformation of graphs’. Nothing new. Transformation of graphs in the HKDSE syllabus refers to – translation – reflection (with respect to the x-axis or the y-axis)...
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正多邊形方程
初中學過極座標（polar coordinates），但只限於描述點之位置。至於描述圖像之方程，到高中，課程也只利用 xy-plane，諸如方程 是描述二次圖像云云。其實極座標系統也可描述圖像的方程，只是如此知識早已湮沒在舊課程內。 所謂極座標，即是說，任何一點 ，其座標為 ，其中 即 和極 的距離， 就是 的旋轉角（angle of rotation），亦即由所謂正 x-軸量度至...
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