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答問

April 5, 2017, 8:11 am

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網友問：

若

$\displaystyle \frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0$

求

$\displaystyle \frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}$

其實我沒有甚麼好方法，不過是死爆如下：

考慮

$\displaystyle (\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b})$

$=\displaystyle \frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}+E$

其中

$=\displaystyle \frac{a}{b-c}(\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b})+\frac{b}{c-a}(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{a-b})+\frac{c}{a-b}(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})$

$=\displaystyle \frac{a(c-b)}{(b-c)(c-a)(a-b)}+\frac{b(a-c)}{(c-a)(b-c)(a-b)}+\frac{c(b-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

$=\displaystyle \frac{a}{(a-c)(a-b)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\frac{c}{(c-a)(c-b)}$

$=\displaystyle \frac{a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$

又因

$\displaystyle \frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0$

故此

$\displaystyle (\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b})=0$

最後證明

$\displaystyle \frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b} \ne 0$

假設

$\displaystyle \frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}=0$

$\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{a-c}=\frac{1}{b-c}+\frac{1}{a-b}$

$\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{a-c}=\frac{a-c}{(b-c)(a-b)}$

$\Rightarrow \displaystyle (a-c)^2=(b-c)(a-b)$

$\Rightarrow \displaystyle a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$

$\Rightarrow \displaystyle (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$

$\Rightarrow \displaystyle a=b=c$

這是不容許的，否則給定的

$\displaystyle \frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}$

是無意義。

於是

$\displaystyle (\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b})=0$

$\Rightarrow \displaystyle \frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$

後記：開頭我搞甚麼 cyclic polynomials 之類的東西，很煩，最後只想到上法，估計應有更好方法，盼高手賜教。

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