Clik here to view.
費氏講
N 年前往中一班代堂，必談「64 = 65」謎題： (圖片來源：https://i.stack.imgur.com/fWdMd.jpg) 對以上現象，小朋友給了不少有創意但錯誤的解釋，如「冷縮熱漲」。 所謂面積為 65 的長方形，在對角線處其實有個狹長的空心平行四邊形，其面積為 1 個單位，故 64 = 65 – 1 無誤。 面積只有 1 個單位的空心平行四邊形被拉得很長，難以察覺，便出現了「64...
View ArticleClik here to view.
帕斯卡三角某結果
早前貼了下圖 本文談如何推出上述結果。 對於函數 ， 記 記 記 諸如此類。即 是 經由函數 的 次疊代（iterations）的結果。 若有兩個函數 及 ，它們之間存在一個變換 ，使 那麼，比方說把 經由 進行 次疊代，便有 圖像地： 粗略說， 和 分別進行疊代運算，結果可透過 彼此轉換。 曾談過有關 fractional linear function 的東西，本文也考慮它。 設 及 ，...
View ArticleClik here to view.
What’s wrong?
Here is a basic level M2 question: Given that , find at (,). Student 1 gave Thus, at (,), Student 2 gave Thus, at (,), The answer obtained above is wrong. By using Desmos, the shape of the equation can...
View ArticleClik here to view.
線長乘積
考慮單位圓內接正多邊形，比如正方形 由某點（比方說 A）出發，連起其他頂點，得出 3 條線段，其長度分別為 2, , ，故乘積（product）為 4。 對於五邊形 由某點出發連起其他頂點，得出 4 條線段，那麼線段長度的乘積如何？ 五邊形邊長為 而紅色對角線邊長 於是該 4 條段長度乘積為 美麗地，答案是 5。 那麼七邊形呢？ 由某點連起其他頂點，得出 6 條線段，告訴你，該 6...
View ArticleClik here to view.
正弦積
初中同學，請問下式何值？ 因為 所以 冇難度。 但 呢？ 那就要進到 M2 課程。 M2 沒有包括三倍角公式（triple angle formula），如 但相信同學也在習題證明過上式，不過這裡我要用另一個三倍角公式： ………………….. (*) 即是說 再「補漏拾遺」： 把上面三十條式相乘，得 繼續運用 (*)， 初中知： M2 知： 然後，或有不同方式繼續，這裡用 ……………….. (#)...
View ArticleClik here to view.
Similar-looking formula
The equivalent resistance of a parallel circuit can be determined by . A similar-looking formula found in a basic mathematics question involving parallel lines as shown below: . The length of the...
View ArticleClik here to view.
Basic question of differentiation
HKDSE 2020 M2 Q.9 (b), a 2-mark question: Given , find . How fast can you finish this part and obtain the correct answer, especially when you are under the pressure during the public examination? 3...
View ArticleClik here to view.
無聊談兩個不等式
自從和純數和附加數說再見後，大部分香港中學生只有解不等式，絕少接觸證明不等式成立的題目。 初中課程內仍有淺嚐三角形不等式的課題，即對於非退化（non-degenerate）三角形，邊長 者 恆有 ， 及 同學，利用 cosine law，我們輕易得出 又或考慮中線（median），長度為 ， 有 立即有 把 角色互換便有 和 順帶一提，如果角平分線（angle bisector）長度為 ，見下...
View ArticleClik here to view.
又談無聊不等式
如何證明 for all integers ? 第一感覺是，指數函數增長速度比二次函數快，所以上式自然成立。 但高中同學，如何具體證之？ 方法一：mathematical induction 因 故對 ，不等式成立。 假設 考慮 又考慮 可見，當 ，。 於是 for 由數學歸納法原則，知 for all integers 方法二：Differentiation 設 解 得 故 for all 即...
View ArticleClik here to view.
無聊談對稱多項式
中四同學懂得應用餘式定理（remainder theorem）分解因式。 舉例，因式分解（factorize）下式 我們可以視上式為關於 的多項式，即 代入 ，得 由餘式定理（或因式定理）知 是原式的因式（factor）。同理，由 ，得 也是因式。 若視原式為關於 的多項式， 即 ，易知 ，故 也是原式的因式。 於是， 這個關於 的 3 次多項式（polynomial of degree 3 in...
View ArticleClik here to view.
1992 HKCEE Paper 2 Q.50
今天有學生問這道會考數學題（1992 HKCEE Paper 2 Q.50）： In the figure, the two circles touch each other at C. The diameter AB of the bigger circle is tangent to the smaller circle at D. If DE bisects ∠ADC, find θ....
View Article