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無聊 bonus

March 19, 2017, 6:55 pm

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隨便出所謂 bonus 題：

Solve the following equations for real .

1. 1+9^x+25^x=3^x+5^x+15^x

2. $5^{x+1}+5(2^x)=3(10^x)+25^x+4^x+5$

中四同學可以試試。

其實它們是很無聊的。

出題形態是考慮：

設正數，；若 $a \ne b$ 且 $(a^x-1)(1-b^x) \ge 0$ ，

則

$a^x = b^x = 1 \Rightarrow x=0$

要達成

$(a^x-1)(1-b^x) \ge 0$

的效果可以有

$(a^x-1)(1-b^x)=(a^x-b^x)^2\Rightarrow 1+b^{2x}+a^{2x}=b^x+a^x+(ab)^x$ ………. (1)

或

$(a^x-1)(1-b^x)=(a^x+b^x-2)^2\Rightarrow 5a^x+5b^x=3(ab)^x+a^{2x}+b^{2x}+5$ ………. (2)

諸如此類。

利用 (1)，隨便代入 a=5, b=3 得

1+9^x+25^x=3^x+5^x+15^x

利用 (2)，隨便代入 a=5, b=2 得

$5^{x+1}+5(2^x)=3(10^x)+25^x+4^x+5$

咁就出到題答案係零嘅所謂 bonus 了～

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