行列式特性

觀同事課，談因式分解行列式（determinant）。

他先給最簡單例子：

Factorize $\left|\begin{array}{rcl}a &b &c\\b+c &c+a &a+b \\a^2 &b^2 &c^2\\\end{array}\right|$ .

我估熟練者很快會把第一行化做 a+b+c ，再抽之，即

$\left|\begin{array}{rcl}a+b+c &a+b+c &a+b+c\\b+c &c+a &a+b \\a^2 &b^2 &c^2\\\end{array}\right|$

$=(a+b+c)\left|\begin{array}{rcl}1 &1 &1\\b+c &c+a &a+b \\a^2 &b^2 &c^2\\\end{array}\right|$

但對剛接解行列式特性的學生，未必如此想。當老師問，有人答

$\left|\begin{array}{rcl}a &b-a &c-a\\b+c &a-b &a-c \\a^2 &b^2-a^2 &c^2-a^2\\\end{array}\right|$

之後沒有繼續下去，因為老師仍有很多東西要講，最後都是展示抽出 a+b+c 的方法。

那我幫學生完成之

$\left|\begin{array}{rcl}a &b-a &c-a\\b+c &a-b &a-c \\a^2 &b^2-a^2 &c^2-a^2\\\end{array}\right|$

$=(a-b)(c-a)\left|\begin{array}{rcl}a &-1 &1\\b+c &1 &-1 \\a^2 &-b-a &c+a\\\end{array}\right|$

$=(a-b)(c-a)\left|\begin{array}{rcl}a &-1 &0\\b+c &1 &0 \\a^2 &-b-a &c-b\\\end{array}\right|$

$=(a-b)(c-a)(c-b)\left|\begin{array}{rcl}a &-1 \\b+c &1 \\\end{array}\right|$

=(a-b)(c-a)(c-b)(a+b+c)

之後老師給了一道經典題目：

Factorize $\left|\begin{array}{rcl}(a-x)^2 &(a-y)^2 &(a-z)^2\\(b-x)^2 &(b-y)^2 &(b-z)^2 \\(c-x)^2 &(c-y)^2 &(c-z)^2\\\end{array}\right|$ .

注：本題起碼見於 Tranter 的 Techniques of Mathematical Analysis，如下

對於第一次接觸的中五學生，相信有點無從入手。老師選這題的目的是希望使用以下行列式特性：

|MN|=|M||N|

老師提示以上特性後，濟記仔果然有質素，吳同學很快便給出以下步驟：

$\left|\begin{array}{rcl}(a-x)^2 &(a-y)^2 &(a-z)^2\\(b-x)^2 &(b-y)^2 &(b-z)^2 \\(c-x)^2 &(c-y)^2 &(c-z)^2\\\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{rcl}a^2 &-2a &1\\b^2 &-2b &1 \\c^2 &-2c &1\\\end{array}\right|$ 　 $\left|\begin{array}{rcl}1 &1 &1\\x &y &z \\x^2 &y^2 &z^2\\\end{array}\right|$

之後的工作便簡單了。老師問他如何想出，吳同學也輕輕答了，但對大部分其他同學，究竟一句＂by inspection＂有否幫助？

不用蠻力展開，如何證明

|MN|=|M||N| ？

其中 M,N 是 3 階方陣（square matrix of order 3）

這是第一年教書，在應用數學堂被學生挑戰的提問。我雖然知道把矩陣化為基本矩陣（Elementary Matrix）的乘積云云不難證明，但他們是中六生，要說他們懂的語言，於是我甚麼都說不出，唯有繼續教 counting 和被學生寸。

那如何解之？先要大家相信中學學的行列式特性，仍可應用在高階行列式，考慮以下 6 階行列式（唔打，手寫算）：

同樣地，這方法起碼見於 Tranter。

好了，唔好咁離地，我試下代入大部分學生嘅角色，做那因式分解時完全唔知可以用 |MN|=|M||N| ，只要有耐性，應也可解之如下：

說回該堂，老師最後給了下題：

Factorize $\left|\begin{array}{rcl}2 &a+b &a^2+b^2\\a+b &a^2+b^2 &a^3+b^3 \\1 &c &c^2\\\end{array}\right|$ .

可惜因為時間不足，只留給學生自行做了。

其實知道 |MN|=|M||N| ，解這題不難。

讓我多給一個提示：

$\left(\begin{array}{rcl}2 &a+b &\\a+b &a^2+b^2\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcl}1 &1 &\\a &b\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}1 &a &\\1 &b\\\end{array}\right)$

同工也可仿效這方法，把兩個方陣相乘後，叫學生把答案因式分解返轉頭，應該有唔少學生炒粉～

回想自己學因式分解行列式，其中一個方法現在已「失傳」（於 syllabus 而已），就是考慮齊次式（homogenous polynomials），循環多項式（cyclic polynomials）云云。

例如

Factorize $\Delta =\left|\begin{array}{rcl}(b+c)^2 &ab &ac\\ab &(c+a)^2 &bc \\ac &bc &(a+b)^2\\\end{array}\right|$ .

首先，用想像力展開 $\Delta$ ，應該會得到 degree 6 的齊次式。

又運用下想像力，展開 $\Delta$ 後視它為以為不定元的多項式。代入 a=0 ，行列式變為

$\left|\begin{array}{rcl}(b+c)^2 &0 &0 \\0 &c^2 &bc \\ 0 &bc &b^2\\\end{array}\right|=c^2b^2-(bc)(bc)=0$

由餘式定理，知　是 $\Delta$ 的因子。

同理，分別代入 b=0 及 c=0 ，該行列式皆零，即和皆為因子。

代入 a=-b-c ， $\Delta$ 為

$\left|\begin{array}{rcl}(b+c)^2 &(-b-c)b &(-b-c)c \\(-b-c)b &(-b)^2 &bc \\ (-b-c)c &bc &(-c)^2\\\end{array}\right|=(b+c)bc\left|\begin{array}{rcl}b+c &-(b+c) &-(b+c) \\-b & b & b \\ -c &c &c\\\end{array}\right|$