相同特徵值及凱萊哈密頓

免插聲明：本文只是中學程度的討論，高手見諒。

續上個 post：

https://johnmayhk.wordpress.com/2016/07/22/flf-and-matrix/

$M=\left(\begin{array}{rcl}a& b\\c& d\\\end{array}\right)$ 　的特徵方程為 $\det(M-\lambda I)=0$ ，即

$\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0$

留意上式係數，

(a+d) 就是矩陣的跡（trace），即對角元的和，也是特徵值的和（sum of roots）；而

(ad-bc) 就是矩陣的行列式（determinant），也是特徵值的積（product of roots）。

有時出題目，想弄一個 2×2 矩陣，其特徵值是（比方說）2 和 8，可以先寫

$\left(\begin{array}{rcl}2& 0\\0& 8\\\end{array}\right)$

這太簡單，要弄複雜些，可觀察

trace = 2+8 = 10，所以隨便寫兩個，總和是 10 的兩個數做元，比如是 6,4：

$\left(\begin{array}{rcl}6& b\\c& 4\\\end{array}\right)$

又因行列式是 2×8=16，故 6×4-bc=16 => bc = 8，即找兩個乘積是 8 的元，比如是 4,2：

得

$\left(\begin{array}{rcl}6& 4\\2& 4\\\end{array}\right)$

又例如用 5+5=10，輕易得：

$\left(\begin{array}{rcl}5& 1\\9& 5\\\end{array}\right)$

其特徵值也是 2 和 8。

上個 post 談到，特徵值不同，則矩陣可被對角化；但若特徵值相同如何？

情況一：仍可被對角化

例如

$\left(\begin{array}{rcl}2& 0\\0& 2\\\end{array}\right)$

的特徵值是 2,2。但明顯本身是對角矩陣，要對角化？簡單，比如

$M=I\left(\begin{array}{rcl}2& 0\\0& 2\\\end{array}\right)I^{-1}$

情況二：不能被對角化

例如

$\left(\begin{array}{rcl}1& 1\\-1& 3\\\end{array}\right)$

唔信？點擊下link吧：

https://www.symbolab.com/solver/matrix-diagonalization-calculator/diagonalize%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D1%261%5C%5C%20-1%263%5Cend%7Bpmatrix%7D

其實，任何 2×2 矩陣，必能寫作以下形式

$M=SJS^{-1}$

當中的一定是以下其中一種形式

(1) $J=\left(\begin{array}{rcl}\lambda_1& 0\\0& \lambda_2\\\end{array}\right)$ ，或

(2) $J=\left(\begin{array}{rcl}\lambda & 1\\0& \lambda \\\end{array}\right)$

對於 (1)，即擁有不同的特徵值而可被對角化者，上 post 已說明。

對於 (2)，即擁有相同的特徵值者，用之前例子：

$\left(\begin{array}{rcl}1& 1\\-1& 3\\\end{array}\right)$

如何寫成 $SJS^{-1}$ ？

又是那句，用 wolframalpha：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=jordan+decomposition+%7B%7B1,1%7D,%7B-1,3%7D%7D

現在不用電腦，估估，如何把

$\left(\begin{array}{rcl}0& 0\\1& 0\\\end{array}\right)$

寫成 $SJS^{-1}$ ？

可以利用置換矩陣（permutation matrix），把　 $J=\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\0& 0\\\end{array}\right)$ 　「變成」 $\left(\begin{array}{rcl}0& 0\\1& 0\\\end{array}\right)$ 　要兩個動作：

首先上下兩行互換，對應左乘置換矩陣 $\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\1& 0\\\end{array}\right)$ 　這運算，得

$\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\1& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\0& 0\\\end{array}\right)$ ；

再左右兩列互換，對應右乘置換矩陣 $\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\1& 0\\\end{array}\right)$ 　這運算，得

$\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\1& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\0& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\1& 0\\\end{array}\right)$ ，故

$\left(\begin{array}{rcl}0& 0\\1& 0\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\1& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\0& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\1& 0\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\1& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\0& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}0& 1\\1& 0\\\end{array}\right)^{-1}$

（有關置換矩陣的例子，可看看：https://johnmayhk.wordpress.com/2010/11/18/simple-examples-about-matrices/）

用 wolframalpha 驗算：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=jordan+decomposition+%7B%7B0,0%7D,%7B1,0%7D%7D

對修 M2 的同學來說， Jordan decomposition 是陌生名詞，但可能有些題目已利用它擬題。

Jordan decomposition 是更一般的手法分解方陣（square matrix），無論它可被對角化與否。

可被對角化者，當然也可作 Jordan decomposition，例如：

$\left(\begin{array}{rcl}2& -1\\-1& 2\\\end{array}\right)$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=jordan+decomposition+%7B%7B2,-1%7D,%7B-1,2%7D%7D

形如　 $J=\left(\begin{array}{rcl}\lambda & 1\\0& \lambda \\\end{array}\right)$ 　者稱為 Jordan matrix。（因只談 M2 的東西，不多談甚麼 Jordan normal form，Jordan block 云云。）

好了，不用電腦，徒手玩 Jordan decomposition。例子 $M=\left(\begin{array}{rcl}2& 4\\-1& 6\\\end{array}\right)$

首先找特徵值及其特徵向量，因上 post 已談，從略，只給答案：

$\lambda =4$ 及 $\left(\begin{array}{rcl}2\\1\\\end{array}\right)$

現在尋求另一支列向量 $\left(\begin{array}{rcl}h\\k\\\end{array}\right)$ ，滿足

$(M-\lambda I)\left(\begin{array}{rcl}h\\k\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcl}2\\1\\\end{array}\right)$

即

$\left(\begin{array}{rcl}-2& 4\\-1& 2\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}h\\k\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcl}2\\1\\\end{array}\right)$

得

$\left(\begin{array}{rcl}h\\k\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcl}-1\\0\\\end{array}\right)$

最後，把特徵向量和　 $\left(\begin{array}{rcl}-1\\0\\\end{array}\right)$ 　放在一起，就是，即

$M=\left(\begin{array}{rcl}2& 4\\-1& 6\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcl}2& -1\\1& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}4& 1\\0& 4\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}2& -1\\1& 0\\\end{array}\right)^{-1}$

驗算一下：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B2,-1%7D,%7B1,0%7D%7D%7B%7B4,1%7D,%7B0,4%7D%7D%7B%7B2,-1%7D,%7B1,0%7D%7D%5E(-1)

有了 $M=SJS^{-1}$ ，不難計算 M^n 。

如何計 $\left(\begin{array}{rcl}\lambda & 1\\0& \lambda \\\end{array}\right)^n$ 　？

例如可以利用二項式定理（binomial theorem）：對於 2×2 矩陣及，若 XY=YX ，則

$(X+Y)^n=\displaystyle \sum_{r=0}^nC^n_rX^{n-r}Y^r$

（其中 X^0=X ， Y^0=Y ）

故

$\left(\begin{array}{rcl}\lambda & 1\\0& \lambda \\\end{array}\right)^n$

$=(\left(\begin{array}{rcl}\lambda & 0\\0& \lambda\\\end{array}\right)+\left(\begin{array}{rcl}0 & 1\\0& 0\\\end{array}\right))^n$

$=\displaystyle \sum_{r=0}^nC^n_r\left(\begin{array}{rcl}\lambda & 0\\0& \lambda\\\end{array}\right)^{n-r}\left(\begin{array}{rcl}0 & 1\\0& 0\\\end{array}\right)^r$

（這是因為　 $\left(\begin{array}{rcl}\lambda & 0\\0& \lambda\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}0 & 1\\0& 0\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcl}0 & 1\\0& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}\lambda & 0\\0& \lambda\\\end{array}\right)$ ）

$=\left(\begin{array}{rcl}\lambda & 0\\0& \lambda\\\end{array}\right)^n+C^n_1\left(\begin{array}{rcl}\lambda & 0\\0& \lambda\\\end{array}\right)^{n-1}\left(\begin{array}{rcl}0 & 1\\0& 0\\\end{array}\right)$

（這是因為　 $\left(\begin{array}{rcl}0 & 1\\0& 0\\\end{array}\right)^r=\left(\begin{array}{rcl}0 & 0\\0& 0\\\end{array}\right)$ for $r\ge 2$ ）

$=\left(\begin{array}{rcl}\lambda^n & 0\\0& \lambda^n\\\end{array}\right)+n\left(\begin{array}{rcl}\lambda^{n-1} & 0\\0& \lambda^{n-1}\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}0 & 1\\0& 0\\\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{rcl}\lambda^n & n\lambda^{n-1}\\0& \lambda^n\\\end{array}\right)=\lambda^{n-1}\left(\begin{array}{rcl}\lambda & n\\0& \lambda\\\end{array}\right)$

所以，求 $\left(\begin{array}{rcl}2& 4\\-1& 6\\\end{array}\right)^n$ ，先做 Jordan decomposition：

$\left(\begin{array}{rcl}2& 4\\-1& 6\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcl}2& -1\\1& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}4& 1\\0& 4\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}2& -1\\1& 0\\\end{array}\right)^{-1}$

從而

$\left(\begin{array}{rcl}2& 4\\-1& 6\\\end{array}\right)^n=\left(\begin{array}{rcl}2& -1\\1& 0\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}4& 1\\0& 4\\\end{array}\right)^n\left(\begin{array}{rcl}2& -1\\1& 0\\\end{array}\right)^{-1}$

$=\left(\begin{array}{rcl}2& -1\\1& 0\\\end{array}\right)4^{n-1}\left(\begin{array}{rcl}4& n\\0& 4\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}2& -1\\1& 0\\\end{array}\right)^{-1}$