三垂線定理

（一）前言

第一次聽「三垂線定理」，大抵是今年二月在大同的群組：

第二次聽「三垂線定理」是四月初在中小學數學修訂諮詢會：

（詳見：http://www.edb.gov.hk/attachment/tc/curriculum-development/kla/ma/PMCForum_170406_07_web.pdf）

其實，「三垂線定理」的實質內容，起碼見於 2007 年會考附加數學卷 Q.14 (a)，擺明車馬考過證明，見：

相信同工在平日的教學上，談二面夾角時也暗地用了這定理，之前也寫過些少：

https://johnmayhk.wordpress.com/2012/10/07/core-math-3d-problem-1/

理解「三垂線定理」對尋找二面夾角有幫助嗎？可能對比如上述的題型有用掛，沒實證。有些比較難的東西，當然麻煩多，比如三維空間中隨便給定 A,B,C,D,E 的位置，如何求三角形 ABC 及 ADE 二面的夾角？

（二）證明

參考下圖（懶，手畫算）

平面外有點，
是在上的垂直投影（perpendicular projection），
即 $PQ \perp H$ ，或曰，是的某法線（normal）；
是在上某點，
即是在上的垂直投影。
$\ell$ 是在上某線。

「三垂線定理」：　　　若 $QR \perp \ell$ ，則 $PR \perp \ell$

「三垂線定理」逆定理：若 $PR \perp \ell$ ，則 $QR \perp \ell$

（在一些簡體字的網頁見「三垂線定理」逆定理如上述之，但不明白，上面兩個陳述對稱，何不稱第二句為定理，第一句為逆定理？）

之前證明時，不過是利用畢氏定理或純量積（scalar product），這次我想用法線概念。

比如， $PQ \perp H$ ，即是的某法線：

那麼，會垂直於上的任意直線，如圖， $PQ \perp \ell$ 及 $PQ \perp m$ 。

逆向地，已知 $\ell, m$ 為平面上某兩條不平行直線，若 $PQ \perp \ell$ 及 $PQ \perp m$ ，則 $PQ \perp H$ 。[註 1]

好了，回看下圖

證明「三垂線定理」如下：因 $PQ \perp \ell$ 及 $QR \perp \ell$ ，故 $\ell \perp$ 平面 PQR 。而在平面 PQR 上，故 $\ell \perp PR$ 。

證明「三垂線定理」逆定理如下：因 $PQ \perp \ell$ 及 $PR \perp \ell$ ，故 $\ell \perp$ 平面 PQR 。而在平面 PQR 上，故 $\ell \perp QR$ 。

一行證完。

把 $\ell$ 在上平移，使在其上，就是諮詢會見的圖像，沒甚麼特別：

現在我用「另一種語言」談「三垂線定理」。

以 $\Delta (XYZ)$ 　代表陳述： $\Delta XYZ$ 是直角三角形，當中 $\angle XYZ$ 是直角。參考下圖：

「三垂線定理」即是：若 $\Delta(ABC)$ ， $\Delta(ABD)$ 及 $\Delta(BCD)$ ，則 $\Delta(ACD)$ 。

「三垂線定理」逆定理即是：若 $\Delta(ABC)$ ， $\Delta(ABD)$ 及 $\Delta(ACD)$ ，則 $\Delta(BCD)$ 。

這是否暗示，四面體 ABCD 的其中三面是直角三角形，則餘下的一面必然也是直角三角形？

同學，請自行證明或否證以下兩句：

（甲）若 $\Delta(ABC)$ ， $\Delta(ACD)$ 及 $\Delta(BCD)$ ，則 $\Delta(ABD)$ 。

（乙）若 $\Delta(ABD)$ ， $\Delta(ACD)$ 及 $\Delta(BCD)$ ，則 $\Delta(ABC)$ 。

（三）推廣

現在我想推廣「三垂線定理」至高維的情況。比如 4 維。若只考慮點，不理會甚麼在超平面及在其上的投影云云，情況簡單：

M2 同學學過，在二維和三維空間內，若 $\overrightarrow {v_1}$ 垂直於 $\overrightarrow {v_2}$ ，則內積（inner product） $\overrightarrow {v_1}\cdot \overrightarrow {v_2}=0$ ；反之亦然。

在三維空間內，設定了彼此垂直的三條軸（即 x-軸，y-軸，z-軸），則當中任意一點 V_1 可有其坐標 V_1(x_1,x_2,x_3) ，則其位置向量是 $\overrightarrow {v_1}=\overrightarrow {OV_1}=x_1\overrightarrow {i}+x_2\overrightarrow {j}+x_3\overrightarrow {k}$ 。

而它與另一點 V_2(y_1,y_2,y_3) 的位置向量 $\overrightarrow {v_2}=\overrightarrow {OV_2}=y_1\overrightarrow {i}+y_2\overrightarrow {j}+y_3\overrightarrow {k}$ 之內積是

$\overrightarrow {v_1}\cdot \overrightarrow {v_2}=(x_1\overrightarrow {i}+x_2\overrightarrow {j}+x_3\overrightarrow {k})\cdot (y_1\overrightarrow {i}+y_2\overrightarrow {j}+y_3\overrightarrow {k})=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$ 。

在四維空間內，設定了彼此正交的四條軸，則當中任意一點 V_1 可有其坐標 V_1(x_1,x_2,x_3,x_4) ，其位置向量為 $\overrightarrow {v_1}=\overrightarrow {OV_1}$ ；

它與另一點 V_2(y_1,y_2,y_3,y_4) 的位置向量 $\overrightarrow {v_2}=\overrightarrow {OV_2}$ 的內積可定義為

$\overrightarrow {v_1}\cdot \overrightarrow {v_2}=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4$ 。

於是，在四維空間內，我們可以 $\overrightarrow {v_1}\cdot \overrightarrow {v_2}=0$ 定義 $\overrightarrow {v_1}$ 正交於（orthogonal to） $\overrightarrow {v_2}$ 。

現設 P(p_1,p_2,p_3,p_4), Q(q_1,q_2,q_3,q_4), R(r_1,r_2,r_3,r_4), S(s_1,s_2,s_3,s_4) 。

已知 $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{QR}=0$ , $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{QS}=0$ ，

考慮

$\overrightarrow{QR}\cdot \overrightarrow{RS}$

$=(\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PR})\cdot \overrightarrow{RS}$

$=\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{RS}+\overrightarrow{PR}\cdot \overrightarrow{RS}$

$=\overrightarrow{QP}\cdot (\overrightarrow{RQ}+\overrightarrow{QS})+\overrightarrow{PR}\cdot \overrightarrow{RS}$

$=0+\overrightarrow{PR}\cdot \overrightarrow{RS}$

$=\overrightarrow{PR}\cdot \overrightarrow{RS}$

所以，若 $\overrightarrow{QR}\cdot \overrightarrow{RS}=0$ ，則 $\overrightarrow{PR}\cdot \overrightarrow{RS}=0$ ，反之亦然。

（注：以上用了四維向量內積的分配律，同學試證其可行。）

但這樣簡單的考慮當然不是唯一的推廣方式，想研究在高維某些特殊的超平面（hyperplane）之推廣情況，或可參考下文：

On the thereom of three perpendiculars
https://arxiv.org/pdf/1307.1577.pdf

（四）超平面

以前中學課程也談平面方程云云，趁機寫寫。

如何以代數表達三維空間（歐氏）內的平面？

設存在 $\overrightarrow {n}$ 為的某（非零的）法向量（normal vector），即 $\overrightarrow {n}\perp H$ ，亦即對任意 $X,X_0\in H\subset \mathbb{R}^3$ ，有 $\overrightarrow {n}\cdot \overrightarrow{X_0X}=0$ ，

設 X_0 是定點，是動點，其軌跡就是，則

$\overrightarrow {n}\cdot \overrightarrow{X_0X}=0$

$\Rightarrow \overrightarrow {n}\cdot(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OX_0})=0$

$\Rightarrow \overrightarrow {n}\cdot \overrightarrow{OX}= \overrightarrow {n}\cdot\overrightarrow{OX_0}$

$\Rightarrow \overrightarrow {n}\cdot \overrightarrow{x}=k$ 其中是某常數。

若 X(x_1,x_2,x_3) ，並 $\overrightarrow {n}$ 是 N(n_1,n_2,n_3) 的位置向量，那麼

$\overrightarrow {n}\cdot \overrightarrow{x}=n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3$

於是可具體表達如下：

$H=\{(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=k\}$

直觀地，是二維的，但如何證明？

下段無可避免地談到線性代數基礎知識，一些名詞有連結，同學盡量參考一下。

留意，若 $k\ne 0$ ，則並非向量空間（vector space），因為在內取不同的向量 X,Y ，則 $X+Y\notin H$ ，原因： $n_1(x_1+y_1)+n_2(x_2+y_2)+n_3(x_3+y_3)=2k\ne k$ 。

於是，我們把平移到，使 $O\in H'$ 。即取 X_0=O ，

得 $H'=\{(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=0\}$ 。

這樣，便是 $\mathbb{R}^3$ 內的子空間（subspace），也可討論其維度。

若 $\dim H'=2$ ，我們可視是二維的。

而 $\dim H'=2$ ，即存在 2 支線性獨立（linearly independent）的向量 $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\in \mathbb{R}^3$ ，對任意 $X=(x_1,x_2,x_3)\in H'$ ， $\overrightarrow{x}$ 也可表達為 $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$ 的線性組合（linearly combination），即