小心出題

早前給學生做某高中數學教科書的某習題：

因為課題涉及 cosine law，於是多數學生解 (a)，曰：

$AB=\sqrt{30^2+45^2-2(30)(45)\cos(60^o-40^o)}=19.7$ m

但有少部份學生，以初中手法處理，考慮兩個直角三角形，得

$AB=45\cos 40^o-30\cos 60^o=19.5$ m

我用計算機檢查無誤，奇怪，為何兩個正確方法，竟然得出不同答案？

首先我問，兩個方法得出的答案相同是可以證明嗎？即下圖的設定

得

$\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos(\alpha -\beta)}=b\cos\beta-a\cos\alpha$

（這不難證，修 M2 的同學試試。其實這式已暗示： $a,b,\alpha,\beta$ 不是任意安排，給定 $a,\alpha,\beta$ 應得到某。）

問題來了，答案不同，難道是計算機問題嗎？如果是這樣，差之毫釐謬以千里豈不是大件事哉？幸好，不是這樣，問題是條問題有問題！

想想如何作圖，我找 GeoGebra 幫手，隨便以 O 為圓心畫半徑為 30 的圓，過 O 畫水平線，量度俯角（angle of depression） 30^o ，視線交圓於點 A，過 A 畫水平線，見下：

再在 O 量度俯角 40^o ，視線應該交地平線於點 B，見下

可是，題目多給了一個條件：OB = 45。這就出問題，因為上圖的 OB，長度並非 45。因為以 O 為圓心，半徑為 45 畫圓，交視線於 C 而不是 B，見下：

後記，感謝網友指出，題目中沒有提及 AB 是 horizontal，即上圖的 C 點才是題目中的 B，於是題目沒有問題，用 cosine law 是正確方法，而初中的方法是不對了。