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nHk
之前談過 ，早前見以下關係： 本來想透過數算來證，但不好想，於是乖乖地用返 來處理。 習題： 1. 知 ，你能把 表達為類似以上形式的二項式係數和嗎？ 2. 試證 3. 試製作一些關於 的關係式。
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冪和表成二項式係數
2016-01-30 在圖書館某小書的某附錄，見 似乎是很精巧的結果，匆匆抄下在顏冊分享，雖然自然數等冪和（Faulhaber’s formula）已是很舊的東西，參考 https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula 但書沒有證明上圖中的結果，當時想，或者它和帕斯卡三角（Pascal’s triangle）的生成，即...
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蛋
純數或附加數有教圓錐曲線，學生會知，比方說 的圖像是橢圓形（ellipse）。 有人稱橢圓形為鵝蛋形，但一般雞蛋，其形狀上尖下闊，不是橢圓，那麼「雞蛋方程」是甚麼？ 畫雞蛋可以是不錯的美術或／和數學活動，初教書時都教過學生畫 圖片來源：http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/rojas/index.html 但我沒有深入研究，究竟有沒有「雞蛋形」的嚴格定義，高手見諒。...
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用Ｄ證trigo
某 M2 題… Prove the following identity . 試試＂Ｄ吓佢＂… 思路：因為左邊有 ，而右邊冇，暗示左邊和 無關。故，先視 為常數，再「用 D 吓」左邊，應該是零，即 Let 所以 是常函數（constant function），我們便可以隨便代入，比如 ，即 Q.E.D. 其實運用「Ｄ完係零所以 f...
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正三角頂點軌跡
設定線 L，並不在其上的定點 O。 在 L 上任意取點 Q，再畫出等邊三角形 OPQ。若 Q 在 L 上運行，問 P 點軌跡是甚麼？ 點擊以下連結，猜猜看： https://www.geogebra.org/material/simple/id/2967699 開估了： 看到 P 點軌跡是直線吧，但如何以數學證之？ 同學會否受現行 core mathematics...
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log y to the base a
（想畫公仔，不喜勿插） 15，16 世紀某天。三條書局友，在表面寧靜的式子… 有暗湧， 有人唔得掂，好唔順氣… 阿 Y 用自己的方式幫佢。 從此，三條書局友又在寧靜的式子，準備暗湧。 希望中四同學睇得明啦～
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證 Cramer’s rule
聽聞代課想向 M2 學生證明 Cramer’s rule，見他手執 n by n 的線性代數材料，並稱內容頗抽象云云，我沒說甚麼。 其實教純數時也略談，技巧不過是在不同的等式，刻意乘上 cofactors 再相加，以致產生 coefficient matrix 的 determinant 云云。 但對 M2 學生來說，估計不是太易，這裡試用 inverse matrix 來解釋，希望明啦～ 因為是...
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證 Cramer’s rule (無言)
來自 The Mathematics Initiative, Education Development Center 的關於 Cramer’s rule 的無言證明： 兩句： 1.相信為了簡潔，不繪出 及 ，但繪與不繪，無關宏旨。 2.上式 det 計算的是平行六面體體積，而上圖兩個平行六面體之體積明顯相同，故推得結果。 把線性方程組賦予這個圖像意義，美麗！
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畢氏定理（無言）
不知是否很多家長也不希望兒女看文字少圖片多的書本？但介紹返，有關 Proofs without words 的書是，雖然多圖少字，但其實很益智的。以下是來自 Leonardo da Vinci 的關於畢氏定理的無言證明，一圖證完，不需文字，盡在不言： 看不明白可參考：...
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費波那契鐘
已在 draft 一年，清理一下，這是有關費波那契鐘（The Fibonacci Clock）的介紹： 鐘面分別由邊長為 1，1，2，3，5 個單位的正方形組成，那些數字，一望而知是費波那契數列。費波那契鐘的設計是每 5 分鐘報報時，閱讀時間的方法可見下例： 紅色代表小時，綠色代表分鐘，藍色代表小時和分鐘都要算。 左圖：紅色有邊長為 1 及 5 的正方形，藍色有代表 3 的正方形，故此小時數是...
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[ViuTV] 《走進東。西教室》
來自 ViuTV 節目《經緯線》有關教育的紀錄短片，追踪來自香港、芬蘭和上海的三個小學生，反映三地不同的教育制度及價值觀。誠意製作，值得推介： 《走進東。西教室》之《上學為甚麼？》 http://viu.tv/encore/now-report#now-reporte2jau-jun-dung-sai-gaau-sat-ji-seung-hok-wai-sam-moh 《走進東。西教室》之《芬蘭...
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和費波那契數列有關的一個遊戲
講開費波那契數列，多談一例。 上次介紹過 nim 這個古舊遊戲，見下： https://johnmayhk.wordpress.com/2013/06/18/just-a-game/ 介紹返，手機 apps 免費玩，搜尋 ＂nim＂ 便可（但現世云云手機遊戲，還有小朋友會下載這個嗎？）： 今次把這個 2 人遊戲，略改規則如下：開始時有 n...
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和扇形有關的某積分
以積分求面積，基本概念也。 故不用真正去計算，只要明白 代表四分一個單位圓的面積，立即知 改變積分上限為 ，M2 同學也懂計算 （其中 ） 代 又或用部分積分吧。但以圖示之，求上述積分，即是求下圖著色部分面積： 即扇形與三角形面積總和，即 如此，M1 同學也懂計數 了（應該） 以下來自 1998 年 Putnam 數學比賽 A2 題： 圖像化之， 可點擊以下連結：...
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正三角
答網友 其他方法，見： 圖片來源：多謝高登先～ http://forum15.hkgolden.com/view.aspx?type=EP&message=5483432 想多研究等邊三角形，這裡有本 mysteries of the equilateral triangle： http://www.m-hikari.com/mccartin-2.pdf
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變易圖式
在教大上了一兩課節「變易理論」（variation theory），當中 V3 是關於教學設計的主導原則「變易圖式」（pattern of variation），希望透過四種辨識體驗：對比（contrast）﹑區分（separation）﹑類比（generalization）和融合（fusion）以刺激學生對新知識或技巧之覺知。 比如要學「紅色」這個概念，可呈現紅色及非紅色的東西，此之謂「對比」：...
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正七邊形
如無必要都唔想拍片，超累的說： （習題）從片中某些結果不難推出以下命題： (1) is a root of . (2) is a root of . 同學，有時間試證。
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平方和和積
設 為正整數，則 (1) 是不可能的。 (2) 若 ，則 可被 27 整除。 (3) 若 ，則 可被 16 整除。 (4) 若 ，則 可被 9 整除。 (5) 可以把上述結果一般化嗎？ 補充例子： (2) (3) (4) 證明？ (1) (2) 首先，如果 不能被 3 整除，則 () 假如 都不能被 3 整除，則 () 矛盾。 設 可被 3 整除，則 () 那麼如果 不可被 3 整除，則 ()...
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論商餘（三）
一. 帶餘除法 (a) 多項式與數字 聞說以下是某校的試題： 一看，個心離一離。 中四同學，想用餘式定理（remainder theorem），代入 嗎？不必，題數根本出錯！ 第一， 並非多項式，因為多項式要求各項次數（degree）為非負整數。 第二，既非多項式，便沒有帶餘除法可言，何來餘式？ 不少人認為：數學，計到咪得囉。身為授課員，不敢苟同。因為答案正確但方法錯，常有（見...
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舊物
（假）暑假開始，點列一下大考期間及之後，中學授課員的一般工作： 1.改卷 2.對卷 3.盤點記錄科組及非教務組物資 4.入分 5.出初步成績單 6.開升班會 7.中一至中五試後活動（校內及校外，兩星期） 8.科組及非教學各組檢討會財政預算來年計劃 9.輸入評語及其他 10.出成績表 11.通知家長留班或轉校 12.小六升中叩門位 13.中一註冊 14.中一迎新 15.中一學科測驗（HKAT）...
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有理函數和矩陣
Core mathematics 介紹過 rational function（有理函數），即形如 者（其中 及 皆為多項式）。 若 及 皆為線性（linear），即形如 者，稱之曰 fractional linear function（FLF）。 中四教 function（函數）時，偶談下例，設 ，求 。 解之曰 仍舊是 FLF。 現看看 2×2 矩陣（matrix）和 FLF 之關係。 設...
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