論商餘（三）

一. 帶餘除法

(a) 多項式與數字

聞說以下是某校的試題：

一看，個心離一離。

中四同學，想用餘式定理（remainder theorem），代入 x=1 嗎？不必，題數根本出錯！

第一， $x^{-999}+x^{-998}+x^{-997}+\dots +\frac{1}{x}+1$ 並非多項式，因為多項式要求各項次數（degree）為非負整數。

第二，既非多項式，便沒有帶餘除法可言，何來餘式？

不少人認為：數學，計到咪得囉。身為授課員，不敢苟同。因為答案正確但方法錯，常有（見 https://johnmayhk.wordpress.com/2008/12/13/answers-are-that-important/）。方法對但說不出所以然，更多。其實武功若只求「招式」，例如死記甚麼 f(a)=R 找餘數；而沒有「內功心法」，即背後的意義和理論，遲早出事，連授課員也不能幸免（如擬上題者）。

再問你：如果 f(x),g(x),Q(x),R(x) 皆為多項式，且有

$f(x)\equiv g(x)Q(x) + R(x)$

我們可以說，當 f(x) 被 g(x) 除時，餘式（remainder）是 R(x) 嗎？

不能！因為多項式的帶餘除法，有規有矩：餘式的次數要嚴格少於除式（divisor）的次數，即要求

$\deg R(x) < \deg g(x)$

例如

$f(x)\equiv (x+1)Q(x)+x^2$

我們不能說：當 f(x) 被 (x+1) 除時，餘式是 x^2 ；因為 x^2 的次數大於 (x+1) 的次數。

記得初初教餘式定理，被學生問：

1. f(x)=x^2 除以 (x+3) ，用餘式定理計到餘數是 f(-3)=(-3)^2=9 ，但例如 x=4 ，則 4^2=16 除以 4+3=7 時，餘數是，不是呀！

2.多項式 f(x) 除以 (x-a) ，餘數是 f(a) ，但你代 x=a ，豈不是說 f(x) 除以零？除到咩？

非常感謝他們給那個時空的大家有討論機會。如果你是授課員，怎答？

1.當把不定元（indeterminate），比方說，「代入」數字，式子就由多項式變成數字，不同的範疇，其實有不同的規矩。考慮多項式 $x^2\equiv (x+3)(x-3)+9$ 的情況，9 是餘式。代入 x=4 ，得 4^2=(4+3)(4-3)+9 即

$16=7\times 1 + 9$

這式正確，但我們不會說 9 是餘數，因為跳進整數的範疇，規矩是：餘數少於除數。不是隨便寫

16=7Q+R

就可以說是餘數！要確保 $0\le R < 7$ ，我們才說是餘數。

由上式， $16=7\times 1 + 9=7\times 1 + 7+2=7\times 2+2$

所以 2 是餘數，無誤。

當然，「代入」數字是容許的，只是考慮範疇由多項式改變到數字，小心規矩也有變。比如 2 是的因子，但代入 x=1.5 ，我們就不能再說 2 是 $2\times 1.5=3$ 的因子。

至於第二個「除以零」的問題，大家又試化解吧～

(b) 多元多項式

做一元多項式的除法，比如說

(2x^2+x^3-x+3) 　 $\div$ 　 (-3x+1+x^2)

第一步必是把被除式和除式的各項「排好次序」，如上例，我們先把被除式各項按冪由大至小排好，即

(x^3+2x^2-x+3) 　 $\div$ 　 (x^2-3x+1)

隨即進行多項式除法。

如何做？方法起碼有三：

1.長除法（這是美麗的算法，是基礎）
2.綜合除法（最快，我最喜歡它）
3.表列法（不在課課程內，有興趣可以學下）

去片　

不難得商（quotient）與餘式，但對於多元多項式的除法，比如是

第一個要處理的問題是：怎樣才算「排好次序」？ x^2y ， xy^2 及 y^2 孰先孰後？這是非常重要的，因為不同的次序，好導致不同的「答案」！這就是與一元的情況在本質上的最大分別。

假如我們用所謂「字典式」定次序（lexicographic order），即先考慮先於，再考慮幕由大至小，我們有

x^2y 先於 xy^2 先於 y^2

若考慮先於，即有

y^2x 先於 y^2 先於 yx^2

跟著，我們嘗試模仿一元的長除法，以「第一種」的次序規定，有

若以「第二種」的次序規定，有

看到「次序」的影響嗎？

對一元多項式的帶餘除法，

$f(x)\equiv g(x)Q(x) + r(x)$

其中， $0 \le \deg r(x) < \deg g(x)$ ，我們稱 Q(x) 為商， r(x) 為餘式。然而對於多元多項式，甚至我們可以把帶餘除法稍微「擴充」，使除式可以不止一個。

即是說，若能表成

$f \equiv g_1Q_1 + g_2Q_2 + \dots + g_nQ_n + r$

其中沒有一個 g_i （ $i = 1, 2, \dots, n$ ）能除盡的任何一項，則也可稱為餘式。

這時，不單的各項次序之規定重要，甚至連 g_i 的次序也相當重要，這些次序是直接影響結果的！

舉個例，設

此乃服膺所謂「第一種」的次序規定。考慮兩個除式 g_1 及 g_2 。

情況一：

進行長除

得餘式 x+y+1 ，表之曰：

情況二：

進行長除

得餘式 2x+1 ，表之曰：

不同次序，可以衍生不同答案；同學，有想過嗎？

某意義來說，這是不好的算法。想了解更多，給你一個關鍵字：Grobner basis，暫不敢談太多。

二. 因式分解

(a) 圖象展示

談多項因式分解（factorization）前，先談展開（expansion）。談展開前，先搞搞 gag ：

johnmayhk-plan-foil (512 x 512)

估計香港學生唔太明呢個老 gag 搞咩，應該因為香港數學授課員好少提 FOIL：

johnmayhk-foil-plan

其實大家認為展開是很容易的嗎？教學現場告訴我：唔係。學生的答案往往帶來不少驚訝：

展開涉及拆括弧，而括弧對於小學生和中學生的運算重點不同。小學生見 $3\times (4+5)$ ，下一步應是 $3\times 9=27$ ；中學生見 3(b+c) ，下一步就是乘法分配律 3b+3c 。相信同工教乘法分配律時，也曾利用長方形面積作展示：

左圖「拆開」，變右邊兩個長方形；由於左右圖形面積不變，故有 a(b+c)=ab+ac 。

有云「因式分解」是「展開」的逆運算（當然這是不準確的說法：雖有 2(x+1)+1=2x+3 ，但不能說 2x+3 的因式分解之結果是），自然想到，把兩個長方形「拼合」（即所謂「拆開」的「逆動作」），見

由於左右圖形面積不變，故有 ab+ac=a(b+c) 。

johnmayhk-quotient-and-remainder
（圖：中一某堂，在下嘗試展示為何 3a+3b 即是 3(a+b) ）

用兩長方形的「公共邊」來類比「公因子」，以圖像讓學生對代數式多一角度理解。

大家覺得這是很簡單易明嗎？教學現埸告訴我：唔係。

(a) 兩個長方形可以「拼合」，對應的代數式是否就是可以「因式分解」？（對於 2a+5b，學生畫出兩個長方形，尺寸分別為 $1\times 2a$ 和 $1\times 5b$ ，死未～）
(b) 兩個長方形不可以「拼合」，對應的代數式是否就是不可以「因式分解」？（當然不是啦，但難點是學生不一定能把剛才圖象轉移（transfer）到可以展示諸如 4a+6b 的情況。把 6b 變成 2b+2b+2b 還是 3*2b，在圖象及代數運數上已是不同的理解！）