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平方和和積

June 15, 2016, 11:58 pm

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設

$n_1,n_2,n_3,\dots$

為正整數，則

(1) n_1^2+n_2^2=n_1n_2 是不可能的。
(2) 若 n_1^2+n_2^2+n_3^2=n_1n_2n_3 ，則可被 27 整除。
(3) 若 n_1^2+n_2^2+n_3^2+n_4^2=n_1n_2n_3n_4 ，則可被 16 整除。
(4) 若 n_1^2+n_2^2+n_3^2+n_4^2+n_5^2=n_1n_2n_3n_4n_5 ，則可被 9 整除。
(5) 可以把上述結果一般化嗎？

補充例子：

(2) $3^2+6^2+15^2=3\times 6\times 15$
(3) $2^2+6^2+22^2+262^2=2\times 6\times 22\times 262$
(4) $1^2+1^2+3^2+9^2+23^2=1\times 1\times 3\times 9\times 23$

證明？

(1) $(n_1-n_2)^2\ge 0$
(2)
首先，如果不能被 3 整除，則 $n^2\equiv 1$ ( $\mod 3$ )
假如 n_1,n_2,n_3 都不能被 3 整除，則
$n_1^2+n_2^2+n_3^2=n_1n_2n_3\Rightarrow 1+1+1\equiv 0 \equiv n_1n_2n_3$ ( $\mod 3$ )
矛盾。
設 n_1 可被 3 整除，則
$n_1^2+n_2^2+n_3^2=n_1n_2n_3\Rightarrow n_2^2+n_3^2\equiv 0n_2n_3\equiv 0$ ( $\mod 3$ )
那麼如果 n_2 不可被 3 整除，則
$1+n_3^2\equiv 0$ ( $\mod 3$ )
不可能，故
n_2 可被 3 整除，從而
n_3 也可被 3 整除，即
可被 27 整除。

其他唔講了。

johnmayhk-pyth-thm-fight
畢先生的勾股飛腿： a^2+b^2=c^2 （誤）

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