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nHk

February 19, 2016, 4:33 pm

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之前談過 H^n_k ，早前見以下關係：

$\displaystyle \sum^n_{k=0}H^n_k=H^{n+1}_n$

本來想透過數算來證，但不好想，於是乖乖地用返 $H^n_k=C^{n+k-1}_k$ 來處理。

$\displaystyle \sum^n_{k=0}H^n_k$

$\displaystyle =H^n_0+\sum^n_{k=1}H^n_k$

$\displaystyle =1+\sum^n_{k=1}C^{n+k-1}_k$

$\displaystyle =1+\sum^n_{k=1}(C^{n+k}_k-C^{n+k-1}_{k-1})$

$\displaystyle =1+C^{2n}_n-C^n_0$

$\displaystyle =C^{2n}_n$

$\displaystyle =H^{n+1}_n$

習題：

1. 知 C^6_3=C^2_0+C^3_1+C^4_2+C^5_3 ，你能把 C^n_r 表達為類似以上形式的二項式係數和嗎？
2. 試證 $\displaystyle \sum^n_{k=0}H^{n+1}_k=H^{n+1}_{n-1}$
3. 試製作一些關於 H^n_k 的關係式。

johnmayhk-nhk

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