Channel: Quod Erat Demonstrandum

↧

冪和表成二項式係數

February 27, 2016, 8:05 am

≪ Previous: nHk

2016-01-30 在圖書館某小書的某附錄，見

johnmayhk-power-sum-01

似乎是很精巧的結果，匆匆抄下在顏冊分享，雖然自然數等冪和（Faulhaber’s formula）已是很舊的東西，參考

https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula

但書沒有證明上圖中的結果，當時想，或者它和帕斯卡三角（Pascal’s triangle）的生成，即

$C^{n+1}_r=C^n_{r-1}+C^n_r$

之類有關吧？今天嘗試證明上圖中結果（當然可能有更好方法，高手見諒）。

先由舊文出發：

http://johnng.inscyber.net/johntalk_puremath02.doc

（若想了解當中原理，可參考　http://johnng.inscyber.net/johntalk_puremath02a.doc，若時間不足者，可先忽略。）

舊文提到，總能把 r^k 可表成 $r^{< 1 >},r^{< 2 >},\dots r^{< k >}$ 的線性組合，即

$r^{k}=\displaystyle \sum^k_{j=1}D^k_jr^{< j >}$

當中的係數 D^k_j 可透過綜合除法（synthetic division）找出，把它們一表列出如下：

johnmayhk-power-sum-02

比如紫色那些數字，代表

$r^5=r^{< 1 >}+15r^{< 2 >}+25r^{< 3 >}+10r^{< 4 >}+r^{< 5 >}$

即 D^5_1=1,D^5_2=15,D^5_3=25,D^5_4=10,D^5_5=1

為美觀，再把 D^k_j 表列如下：

johnmayhk-power-sum-03

考慮 k=6 的情況，由綜合除法的算法，知

D^6_1=1=D^5_1
D^6_2=31=1+30=D^5_1+2D^5_2
D^6_3=90=15+75=D^5_2+3D^5_3
D^6_4=65=25+40=D^5_3+4D^5_4
D^6_5=15=10+5=D^5_4+5D^5_5
D^6_6=1=D^5_5

可見

$D^k_j=D^{k-1}_{j-1}+jD^{k-1}_j$ …………………. (*)

其中 D^k_j=0 for j=0 or j >k

好了，求冪和，即

$\displaystyle \sum^n_{r=1}r^{k}$

$=\displaystyle \sum^n_{r=1}\displaystyle \sum^k_{j=1}D^k_jr^{< j >}$

$=\displaystyle \sum^k_{j=1}\displaystyle \sum^n_{r=1}D^k_jr^{< j >}$

$=\displaystyle \sum^k_{j=1}D^k_j\frac{(n+1)^{< j+1 >}}{j+1}$ 　（這是舊文提及的所謂 F-運算）

$=\displaystyle \sum^k_{j=1}D^k_jj!C^{n+1}_{j+1}$

$=\displaystyle \sum^k_{j=1}D^k_jj!(C^n_{j+1}+C^n_j)$

$=\displaystyle \sum^k_{j=1}D^k_jj!C^n_{j+1}+\displaystyle \sum^k_{j=1}D^k_jj!C^n_j$

$=\displaystyle \sum^{k+1}_{j=2}D^k_{j-1}(j-1)!C^n_j+\displaystyle \sum^k_{j=1}D^k_jj!C^n_j$

$=D^k_1C^n_1+\displaystyle \sum^k_{j=2}(D^k_{j-1}(j-1)!+D^k_jj!)C^n_j+D^k_kk!C^n_{k+1}$

$=\displaystyle \sum^{k+1}_{j=1}(D^k_{j-1}(j-1)!+D^k_jj!)C^n_j$ 　（因為 D^k_j=0 for j=0 or j >k ）

$=\displaystyle \sum^{k+1}_{j=1}E^{k+1}_jC^n_j$

其中定義 $E^{k+1}_j$ 為

$E^{k+1}_j=D^k_{j-1}(j-1)!+D^k_jj!$

當中 $j=1,2,\dots ,k+1$

好了，現在證明主要結果：

$E^{k+1}_j=(j-1)E^k_{j-1}+jE^k_j$

見下

$E^{k+1}_j$

$=D^k_{j-1}(j-1)!+D^k_jj!$

$=(D^{k-1}_{j-2}+(j-1)D^{k-1}_{j-1})(j-1)!+(D^{k-1}_{j-1}+jD^{k-1}_j)j!$ 　（由 (*)）

$=D^{k-1}_{j-2}(j-1)!+(j-1)D^{k-1}_{j-1}(j-1)!+D^{k-1}_{j-1}j!+jD^{k-1}_jj!$

$=(j-1)(D^{k-1}_{j-2}(j-2)!+D^{k-1}_{j-1}(j-1)!)+j(D^{k-1}_{j-1}(j-1)!+D^{k-1}_jj!)$

$=(j-1)E^k_{j-1}+jE^k_j$

Q.E.D.

再把 $E^{k+1}_j$ 表列如下：

johnmayhk-power-sum-04

隨便寫 k=5 的情況在結：

$\displaystyle \sum^n_{r=1}r^{5}=\displaystyle \sum^6_{j=1}E^6_jC^n_j=C^n_1+31C^n_2+180C^n_3+390C^n_4+360C^n_5+120C^n_6$

↧

Trending Articles

《沈冰自述——我和周永康的故事》全本

February 8, 2015, 9:08 pm

Moog - Subsequent 25

January 16, 2020, 12:00 am

出售: 林憶蓮•回來愛的身邊 (東芝1A1頭版)

March 9, 2013, 11:02 am

筆記 - 使用 PowerShell 清除停用 AD 帳號與 OU

July 16, 2019, 11:03 pm

df-dferh-01 中国区 Android 安装 Google Play Store 后报错的解决办法

April 24, 2019, 6:56 am

「一棒接一棒、棒棒強棒」108學年度家長會長交接典禮

October 28, 2019, 8:49 pm

吸烟与MBTI类型判断捷径 (豆瓣 INFJ的奇幻之旅小组)

December 28, 2017, 6:55 pm

acermark龍璿國際展出多款包裝設備

April 18, 2016, 6:02 am

枋寮北勢寮隆山宮睽違12年再辦迎王祭典

October 15, 2018, 6:03 am

日本女优有村千佳COS集锦：狂三&黑白岩&亚丝娜&绫波丽

September 4, 2013, 2:57 am

有遇到过这个问题么。/jsb-videoplayer.js not found, possible missing file.

June 23, 2020, 2:17 am

MAS v2.8 magicgenius 汉化版 - 11.11更新

November 10, 2024, 5:46 pm

出售: Monster Cable Interlink Reference 2

May 23, 2018, 2:00 am

福建佛教人士望云和尚(林斌)的九仙禅寺被强行收走，望云妈妈被赶出寺庙

August 17, 2015, 1:12 am

R 语言中的OpenBLAS*和英特尔® 数学核心函数库的性能比较

December 21, 2016, 9:38 pm

[转载]煞貢、直星、人專吉日\金神七煞歌

March 3, 2016, 6:37 am

HAKERS哈克士戶外 12月8~14日廠拍

December 6, 2016, 3:52 am

OBS Studio 23.2.1 免安裝中文版 - 免費網路實況廣播軟體實況主必備軟體取代Fraps

June 16, 2019, 8:10 am

<請教>行駛中安卓機會重新開機

August 5, 2018, 7:25 am

Udp2raw-tunnel 及其一键安装脚本

October 23, 2017, 6:46 pm

© 2025 //www.rssing.com