和費波那契數列有關的一個遊戲

講開費波那契數列，多談一例。

上次介紹過 nim 這個古舊遊戲，見下：

https://johnmayhk.wordpress.com/2013/06/18/just-a-game/

介紹返，手機 apps 免費玩，搜尋＂nim＂便可（但現世云云手機遊戲，還有小朋友會下載這個嗎？）：

johnmayhk-nim-apps

今次把這個 2 人遊戲，略改規則如下：開始時有 n 個包子。第一個玩家至少取一個，但不能全取。之後輪流取包，規則是至少取一個包，也可取任何數目的包，只要取包數目不超過對手之前取包數目的兩倍。取最後一個包者勝。

比如，n = 15，甲乙對賽，甲先取。

甲取 2 個（餘 13 個）
乙不能取多於 4 個，乙取 4 個（餘 9 個）
甲不能取多於 8 個，甲取 1 個（餘 8 個）
乙不能取多於 2 個，乙取 1 個（餘 7 個）
甲不能取多於 2 個，甲取 2 個（餘 5 個）
乙不能取多於 4 個，乙取 3 個（餘 2 個）
甲不能取多於 6 個，甲取 2 個（餘 0 個）
甲勝。

原來如果ｎ不是費波那契數，甲有必勝法；但如果 n 是費波那契數，則乙有必勝法。

第一要知，任何正整數必能表達成若干不同的費波那契數之總和，見：

https://johnmayhk.wordpress.com/2012/12/31/sum-of-fibonacci-numbers/

不明白？沒關係，知道實際運作便是了：為方便，先列出費波那契數列：1,1,2,3,5,8,13,21,…

若是不費波那契數。

舉例， n = 20 ，那麼少於 20 的最大的費波那契數是 13，即 20 = 13 + 7，而 7 不是費波那契數，少於 7 的最大的費波那契數是 5，即 7 = 5 + 2，而 2 也是費波那契數，完工，即 20 = 13 + 5 + 2。

好了，甲可先取 13,5,2 中最少的數目，即 2 個包，餘 18 個；而乙不能取多於 4 個，所以乙肯定不能全取。乙取（比方說）3 個，餘 15 個，這時，甲又可把 15，用之前的方式，寫成若干不同的費波那契數之總和，即 15 = 13 + 2，故甲可取 13,2 中最少的數目，即 2 個包，餘 13 個，而乙不能取多於 4 個，所以乙肯定不能全取。乙取（比方說）4 個，餘 9 個，這時，甲寫出 9 = 8 + 1，故甲取 1，餘 8，而乙不能取多於 2 個，所以乙肯定不能全取。乙取（比方說）1，餘 7，因 7 = 5 + 2，故甲取 2，餘 5，而乙不能取多於 4 個，所以乙肯定不能全取。乙取（比方說）3 個，餘 2，甲取 2，甲勝。

若是費波那契數。

甲取若干個包後，餘下的包數若不是費波那契數，只要視乙為第一個玩家，用前段描述的方法，最終乙勝。

甲取若干個包後，餘下的包數若正是費波那契數，舉例， n = 21 ，甲可取
8 個，餘 13；乙可取 13 而勝；或
13 個，餘 8；乙可取 8 而勝；或
16 個，餘 5；乙可取 5 而勝；或
19 個，餘 2；乙可取 2 而勝；或
20 個，餘 1；乙可取 1 而勝。