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7 線共點
隨便用 GeoGebra 弄個 movie，見： 這不過是常見問題。初中同學知：平面上三角形的中線共點（稱該點為重心或形心 centroid），那麼立體的情況如何？ 如片段所見，三角錐體的 4 條中線 和 3 條 bimedians（不懂中譯如何）也共點。 為何？修 M2 同學可以利用向量證之如下: 設 A,B,C,D 的位置向量（position vectors，簡稱「位置」，下同）為 , , ,...
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質數定理
以前錯過了這個有趣的，關於質數定理的短片： 曾在複變課遇過質數定理的證明，偶看「數學資料庫」： http://www.mathdb.org/articles/prime/c_prime.htm 才知它有初等證明。隨便網尋，見： https://www.math.lsu.edu/~mahlburg/teaching/handouts/2014-7230/Selberg-ElemPNT1949.pdf...
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兩數相等
閒時證明吓 1=2 之類的東西，學生可能會醒一醒。 比如教配方法時，可以問問學生喜歡哪兩個數？例如 8 和 9，那麼我們就可以「證明」：8 等於 9，如下： （配方法了） 又例如教 M1, M2，講到 時，又可以扮哂嘢地話可以「證明」：任何兩個數都相等，見下： 隨便考慮 及 。 設 計算 現在計算當中的 於是 ………………. (1) 同理，考慮 （因 ） 即 ………………. (2) 由 (1)...
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% change
在 CLP 我無聊地提出一個老問題：涉及負數的百分率改變 e.g. Original value = -10 New value = -12 % change = ? 用教科書的「公式」 % change = 100% = +20% 有違常理。因為明明由 -10 改變到 -12，數值是減少了。（比如氣溫由 -10 度跌到 -12 度，是下降了 2 度），但用「公式」卻計出增加 20%！...
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三角題
Just come across a part of a core mathematics trigonometry problem today morning, I and my student used different ways to solve it, but actually, same results turn up: Given , , where , find in terms...
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正四面體，兩個夾角
1.一個玩具 早前入了些貨，其中一件： 正四面體困在籠中， 硬闖不能： 如何逃脫？其實唔難。想想：正方體的某四角相連，可生成正四面體（regular tetrahedron）見下： 點擊以下連結動動它吧： http://tube.geogebra.org/m/1790351 可見，設正方體邊長 1 單位，正四面體的邊長就是...
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二次和是和
觀察 … 還有沒有其他例子，滿足以下關係？ ……………… (*) 學過圓方程的同學，應該知道 (*) 正是圓方程，所以在該圓（周）上的點，皆滿足 (*)。 換言之，有無限個實數組 滿足 (*) 隨便代入，比方說 ，(*) 變成 所以有 這似乎沒有本文最初幾個例子美觀，於是自然問：還有沒有其他有理數解 ？ 有，大家檢查一下： ………. (#) 只要在 (#) 中隨便代入有理數 ，比如 ，得 即 如何得...
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一個冇咩用嘅rule
積分沒有甚麼 product rule，除非特殊情況，比如： 設 ， 二次可導，若 及 其中 為常數；則 先唔證明，用之。 e.g.1 故 故 於是 e.g.2 故 故 於是 看到此，同學可能感覺到，除了 , 及 ，似乎沒有其他函數可以應用這個所謂 product rule。對嗎？ 好了，都要證明一下這個近乎冇用的 rule： 移項，重組，得 當然，表列法有較大的延伸，見：...
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無聊兩題
1. 初中 參考下圖 已知：， 問： 嗎？ 如果同學寫： （given） （given） （common sides） 結論是 （ASS） 那理由不能支持結論。 那麼 嗎？ 找輔助線幫手，連 CD。得 是等腰，從而 ，又因已知 ，故 ，從而 （sides opp. = ∠s），於是 （SSS） （習題：若上例， 是銳角，那麼 嗎？） 正所謂 ＂Don’t try to prove...
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無聊二次方程
1.少少無聊 不用甚麼「精心炮製」，隨便問問，對很多學生來說已是難題。比如中四，二次方程，我隨便問： Solve . 結果大部分學生嘗試展開，又配方法，又二次公式云云，把問題簡單複雜化。可能學得「太多」，忘記解方程基本步，也許我問 Solve . 學生或容易回憶到因式方法，會寫 or 得 or 之類吧。 雖然原理一樣，但心理因素或有影響，以致對某些學生來說，下面兩題難度或解法「不同」的：...
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至少要有 1 女
有 18 男，12 女。在這 30 人中隨意選 8 人，若至少要有 1 女被選，問共有選法組合多少？ 學生說：先選出一女，共 種選法。再在餘下的 29 人選 7 個，選法共 種。故符合要求的選法有 咁計有咩問題？ 我：問題就係重覆數算，例如第一個選了 G1，餘下的 7 人中，包括了 G2；另一個情況，第一個選了 G2，餘下的 7 人中，包括了 G1；那兩個情況，在 個情況中，數算為 2...
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好玩的二次圖
教中四數學的同工，可以給學生玩玩以下網上遊戲，他們要運用有關二次圖像（quadratic graph）的知識「取星星」。這不是幼童遊戲，有難度的。 先去： https://teacher.desmos.com/browse 見 選 Marbleslides: Parabolas，見 有 account 者 log in；冇就 create 如下 輸入完，按 New Session： 之後彈出...
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Inauguration 1978
這是 1978 年聖芳濟書院紅十字會青年團（81 團）成立典禮。當年稱為 CU81，即 Cadet Unit 的簡稱；近年改為 YU81，即 Youth Unit。圖中講者是第四任校長魏岫山修士（Rev. Brother Bosco Wei），他已於 2015 年 11 月 15 日早上 5:50 安息主懷。上兩星期，突然有師兄把當天的場刊送回學校，輾轉到我手，掃描如下，作數碼保存：
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2016
由 2015 過渡到 2016 的視覺效果： （source: PI-SLICES） 靚！但數學人或更喜歡以下過渡方法： （source: Vandhens Stille） 數學人就是喜歡把數字賦予意義，2016 是首 63 個正整數總和： 可見，2016 是三角形數， 即 。 亦即可以表成二項數，即 。 這樣，2016 和數算有關，例如把兩只不同的棋子放在國際象棋棋盤： 放法組合共有 2016...
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(a+b) 的 4 次
前言 早前在顏冊貼有關以圖像說明二項式定理（visualization of binomial theorem）的圖像： 因朋友不明白 的情況，現略談。 定義 現定義四維超長方體之體積。 首先，我們身處三維，可定義彼此垂直的三個方向： 在平面上考慮尺寸為 的長方形。想像把該長方形，沿垂直於該平面的方向（即 axis）拉出 個單位，得長方體，見下： 定義其體積為 。...
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某 front view
偶查草稿，見以下 2014-09-14 同工 send 來的圖，問：左上一題的 front view 為何？（點擊下圖可放大） 這是初中數學，同學試試，解答如下： 差不多一年半後的今天，我有時間畫埋個 3d object 出來，探究一下： http://tube.geogebra.org/m/2660657
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hcf and lcm
某必修數學題： 若多項式 和 的 H.C.F. 及 L.C.M. 分別為 及 ，求 。 可能一開始已向學生提及，對於任何兩個正整數 ，恆有 H.C.F L.C.M. 有學生解上題如下： 不錯。但我補充，對於三個正整數 ，小心 H.C.F L.C.M. 其實 及其 H.C.F. 和 L.C.M. 有何關係？ 設 L.C.M. of H.C.F. of H.C.F. of H.C.F. of...
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