(a+b) 的 4 次

前言

早前在顏冊貼有關以圖像說明二項式定理（visualization of binomial theorem）的圖像：

因朋友不明白 (a+b)^4 的情況，現略談。

定義

現定義四維超長方體之體積。

首先，我們身處三維，可定義彼此垂直的三個方向：

johnmayhk-4d1

在平面上考慮尺寸為 $a\times b$ 的長方形。想像把該長方形，沿垂直於該平面的方向（即 axis）拉出個單位，得長方體，見下：

johnmayhk-4d2

定義其體積為 $a\times b\times c$ 。

現考慮四維超長方體。要表達四維，我們可以把三維先看成「二維」，那麼長方體就完全躺卧在「平面」（稱之曰：膜）上，見：

johnmayhk-4d3

而這個三維的「平面」，完全躺卧在四維空間（稱之曰：體）。運用想像力，考慮一個可以同時「垂直」 axis， axis 及 axis 的方向，隨便定它為 axis，見：

johnmayhk-4d4

現在把完全躺卧三維「平面」的長方體，沿 axis 拉出個單位，得四維超長方體，見下：

johnmayhk-4d5

定義其體積為 $a\times b\times c\times d$ 。

解說

好了，回看原問題。考慮一個邊長為 (a+b) 的三維立方，沿 axis 拉出 (a+b) 個單位，生成一個四維超立方，其體積為 (a+b)^4 ，見下：

johnmayhk-4d6

好了，現在用另一個方式計算那四維超立方的體積。參考上圖，見三維立方由 8 個長方體合成，分別是 1 個紅，3 個橙，3 個綠，1 個藍的長方體；易知它們的大小，因其長的邊是個單位，短的是。所以，紅立方的體積是 a^3 ，橙色方的體積是 a^2b 諸如此類。

現考慮把該三維立方沿 axis 先拉出個單位，這樣便生成 8 塊四維長方體（見上圖）；之後，再繼續沿 axis 拉出個單位，這樣便生成 8 塊四維長方體。於是，把該三維立方沿 axis 拉出 (a+b) 個單位後，共生成 16 塊四維長方體。而四維超立方的體積 (a+b)^4 ，即是 16 塊小小的四維超長方體體積之總和。

1. 原來的三維立方有 1 個紅色方，把紅色方拉出單位，體積為 a^4 ：

johnmayhk-4d7

2. 原來的三維立方有 3 個橙色方，把橙色方拉出單位，體積為 $a^2b\times a=a^3b$ 。再把上圖的粉紅色方繼續拉出單位，得的四維長方體積也是 $a^3\times b=a^3b$ ，故如此生成的四維長方總體積為 $3\times a^3b+a^3b=4a^3b$ ：

johnmayhk-4d8

3. 原來的三維立方有 3 個綠色方，把綠色方拉出單位，體積為 $ab^2\times a=a^2b^2$ 。再把上圖的三個透明橙方繼續拉出單位，得的四維長方體積也是 $a^2b\times b=a^2b^2$ ，故如此生成的四維長方總體積為 $3\times a^2b^2+3\times a^2b^2=6a^2b^2$ ：