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幾條正三角形
有時在街中，也傅來學生用 fb 或 whatsapp 問數如下，回家答之。可能有更好解法，但我只想到以下解，高手見諒。 從學生甲： 設 ABC 是正三角形，D 和 E 分別在 BC 和 CA 上。AD 交 BE 於 P。若 AE = DC 及 BQ AD，求 BP : PQ。 解 作 ΔFBA，其中 FB = AE；FA = BE。 易知 ΔAEB ΔCDA （S.A.S.） ΔBFA...
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數算簡單分組
簡單分組問題，作溫習之用： 設有 {A,B,C,D,E,F} 6 人 ，問下面各個情況共有多少組合／排列方式？ (a) 分 3 組，甲組 3 人，乙組 2 人，兩組 1 人 (b) 分 3 組，一組 3 人，一組 2 人，一組 1 人；及後，一組稱為甲組，一組稱為乙組，一組稱為丙組 (c) 分 3 組，一組 3 人，一組 2 人，一組 1 人 (d) 分 3 組，甲組 2 人，乙組 2 人，兩組 2...
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無聊 A4 紙包裝
免插聲明：非數學類，不喜勿插。 學校會保存 A4 紙的包裝封套，但往往是被撕破的，見： 應該是剛剛開封時太多紙，難以拉出 A4 紙唯有把封套撕多一點。其實可以有簡單方法把封套保留好一點，見： 首先小心開封： 之後，不要取最上或最下的一張 A4 紙，而是取出中間的一疊，見： 這樣，封套內就有足夠空間讓你拉出其他 A4 紙了。 這 post 太無聊了，見諒。
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平鋪
把 1*2 骨牌（domino）平鋪在 3*2 的棋盤上，共 3 種方式，見下： 可否把 1*2 骨牌平鋪在 3*3 的棋盤上？不能。 把 1*2 骨牌平鋪在 3*4 的棋盤上，共多少種方式？不難想像包括以下 3*3=9 種方式： 還有以下兩種： 共 11 種情況。 一般地，考慮以 1*2 骨牌來平鋪 3*2n 棋盤，共有 種方式。 上述兩例，知 , ，那麼，其他的 是甚麼？...
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某積分
網上見某中學的積分題，求 其實出題的 idea 不難，不過是運用 而已。 比如，設 ，則 ，於是 （for ） 只要玩不同的 ，甚至改變一下 的冪，便可出不是題目，隨便舉例： 1. = ? 2. = ? 3. = ? 諸如此類。 Read also...
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某中三三角學題
其一 中三數，某題： Given that , where is an acute angle. Using trigonometric identities, find the value of . 用圖，輕易把 表之曰 立即得 故答案是 。 然而，如單用 trigonometric identities，學生感困難。 先解如下： 因 得 且 故 問題是，所謂 trigonometric...
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幾何老題
那天在校開會途中，傳來舊同學的 whatsapp，原來是一個幾何問題： 求 的大小。（圖有誤，，非 ） 那應是經典題，以前寫文時引過這例，見： https://dl.dropboxusercontent.com/u/19150457/SFXC/johnmayhk-concurrent-chords.doc 之後舊同學也引了連結：...
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帶分數惹的禍
小學時 世界多美好。 但到中二， 就有學生寫 這是帶分數惹的禍？ 是 但 是 一般地 是 的意思。 所以 沒有甚麼可化簡了，唯有因式分解之，曰 那麼，我們有 但千萬不要走火入魔地寫： 小學的數學老師們會很失望啊！ 習題： 以下皆是錯誤答案： A. B. C. D. 一，試說明上述答案因為錯在哪裡而得出。 二，試以另一些「學生常犯錯誤」而得出其他可能選項。
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某初中幾何題
看到學生考試表現，隨便可以寫幾個 post 以作賽後檢討。以下是中三數學其中一題的其中一部份： 圖中長度分別為 6 cm, cm 及 12 cm 的線段彼此平行，求 值。 原本希望學生用（課程定義的那個）intercept theorem 呀，再用 mid-point theorem 呀去處理，但某班學生二話不說，立即寫： 正確。但因為沒有給 reasoning steps，所以扣了些分。...
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某測量題
一道普通初中題目：求邊長 10 cm 的正四面體（tetrahedron）之總表面面積 不難計出一個三角形面積為 ，故上題答案是 可是，有些學生給的答案是 明顯，他們誤以為 是直角，故認為 的面積是 。 在二維面上表達三維物件，不一定「眼看為真」；要以「高一層次」的眼光，才能超越表象，還原本相。
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小學三角題
Whatsapp 傳來同事阿仔的暑期功課：在釘板上圍出一個等邊三角形 我心諗：點解要咁樣玩啲小學生（及其家長）？ 上題冇解。 首先要知（而家中學已經 cut 咗嘅知識）： 設兩條直線的斜率（slope）分別是 及 （見圖） 則兩條夾角 可以下式求之： 點解？修 M2 的同學試吓考慮 及複角公式證明吓（參考以前附加數學 Additional Mathematics 的教科書，基本內容）。...
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某積分
修 M2 的同學懂得求 課程告之，方法可以設 之後要處理 和 而得，頗煩，同學可試試。 現在，我運用雙曲函數（hyperbolic functions）解之。何謂雙曲函數？因為現在修 M1 或 M2 的同學接觸過 Euler’s Number (Napier’s Number) e，所以要認識雙曲函數，其實唔難，看看以下連結，特別是 “Useful relations" 及...
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某舊習題
不知大家曾否被數學題吸引？剛在書櫃找東西時，隨意翻閱我校某本過時的中學數學參考書（1942 年，第 5 版） 偶見一道頗吸引我的中學數學題： 證明： 若 ， 則 我只是被那公整的模樣吸引，其實這是一道純數的基本習題。但舊書用的是應數的方法，見下： 首先要知 , 於是，我們考慮 , , , 無論 是多少，總可以取足夠小的 值，令 的值皆小於 1，以致上面三式成立（或曰：三個無窮級數收斂）。...
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等邊三角形面積
教書初年遇此題： 等邊三角形 ABC 內有 P 點，其中 AP = 3 cm, BP = 5 cm, CP = 4 cm，求 ΔABC 面積。 其中一個解法，在 ΔABC 外定點 D，使 DAP 為等邊三角形，見下： 連 CD，見下： 易知 ΔDAC 與 ΔPAB 全等（SAS），故 DC = 5 cm，見： 由畢氏定理逆定理，知 ΔCDP 為直角三角形，即角 DPC 為 90 度。另外，角...
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某 monic 多項式
偶見高Ｘ論壇某題： 證明 回應者用了較麻煩的方法處理。 其實，當 ， （sum of G.S.） 所以， 若 ，則 ，故 ； 若 ，則 ，故 ； 即 。 若 ，則 總結：對任何實數 ，恆有 。 （循上法，知：若 是偶數，對任何實數 ，恆有 。） …………………………………………………………………………………….. 但有回應者用到因式分解（over ）處理，如下：...
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sum of 1/k^2 from 1 to infinity
非正式地所謂證明 。 ……………………………………………. 首先要知，下式的根之總和（sum of roots） ………. (*) 是 。 把 (*) 除以 ，得 命 ，得 並知上式的根，就是 (*) 的根之倒數（reciprocal）。 所以 (*) 的根之倒數的總和（sum of reciprocal of roots） 就是 。 ……………………………………………. 好了，「偽證明」開始。...
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平行四邊形面積
教三角形面積時，問：「底乘高除 2」公式何來？學生答曰：平行四邊形面積之半。似乎學生都有兩個全等三角形拼成一個平行四邊形的概念，於是我叫他們參考下圖，如何證明平行四邊形面積是 ？ 一個簡單看法 考慮一個梯形的文件夾（folder），內面放了一張梯形的紙： 把紙從右至左拉出來，見： 易知，拉出來的紙是平行四邊形。...
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一式過
比如要寫出以下數列的通項 應該不難得出 吧。（這樣假設上述數列的變化模式不變，一直都是「負 1 正 1」咁去。） 但還有沒有其他可能？ 有的，比如 對於有「周期」變化的數列，例如 即 之前都談過： https://johnmayhk.wordpress.com/2012/05/01/boring-talik-about-general-term/ 其表達式可以是 化簡得 for...
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合24
學期初，同事已病，我代課。剛開學的中二學生，玩甚麼好？不如玩小學生也懂的遠古算術遊戲：合 24。 用一堂弄幾題所謂難題，去上堂，當中包括： {3,3,7,7} （即把上述數字各用一次，配以四則運算，得出答案 24。） 未玩過的可以試試。 遊戲樂趣在乎玩，若把遊戲用之以研究數學，對很多人來說實屬煮鶴焚琴，但對數學人卻是很自然： 比如，把 4 個數字的運算形式窮盡，得出所有可能解，那麼每次玩合...
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