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某中三三角學題

May 18, 2015, 8:47 pm

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其一

中三數，某題：

Given that $\tan \theta=\sqrt{2}$ , where $\theta$ is an acute angle. Using trigonometric identities, find the value of $\sin^2\theta - \cos^2\theta$ .

用圖，輕易把 $\tan \theta=\sqrt{2}$ 表之曰

立即得

$\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

故答案是 $\frac{1}{3}$ 。

然而，如單用 trigonometric identities，學生感困難。

先解如下：

$\tan \theta=\sqrt{2} \Rightarrow \sin \theta = \sqrt{2}\cos \theta$

因

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

得

$(\sqrt{2}\cos \theta)^2 + \cos^2\theta = 1$

$\Rightarrow \cos^2\theta = \frac{1}{3}$

且

$\Rightarrow \sin^2\theta = 1-\cos^2\theta=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

故

$\sin^2\theta - \cos^2\theta=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

問題是，所謂 trigonometric identities，其來源不過是基於畢氏定理和三角比定義，用圖輔助，當中運算不也是畢氏定理和三角比定義嗎？兩者分別不大，甚至我認為以圖輔助，有紋路，是更好的解。

其二

順便談談擬某類中三數題之法。設

$\tan\phi=\frac{a+b\sin\theta}{b\cos\theta}$

當中 a,b 為正數， $\phi > \theta$ ，求 $\theta$ 。

以圖輔助，曰

其中為大三角形內的線段長度（見圖）。

考慮較小的直角三角形，尋找對邊及鄰邊長度，得

那麼，考慮較大的直角三角形，得以下關係：

$\tan\phi=\frac{a+b\sin\theta}{b\cos\theta}$

另一方面，只要適當加線，產生新的直角三角形，從而可加以利用，即

如圖，考慮最上方的直角三角形，得

$x=a\sin(90^o-\phi)=a\cos\phi$

再考慮相鄰的直角三角形，得

$\sin\alpha = \frac{x}{b} = \frac{a\cos\phi}{b}$

即

$\alpha = \sin^{-1}\frac{a\cos\phi}{b}$

故

$\theta = \phi - \alpha = \phi - \sin^{-1}\frac{a\cos\phi}{b}$

可求也。

當然，對於中四修 M2 的同學，這題根本不用繪甚麼圖，運用複角公式（compound angle formula）便好了，即

$\tan\phi=\frac{a+b\sin\theta}{b\cos\theta}$

$\frac{\sin \phi}{\cos \phi}=\frac{a+b\sin\theta}{b\cos\theta}$

$b\sin \phi \cos\theta=a\cos \phi + b\cos\phi\sin\theta$

$b(\sin \phi \cos\theta-\cos\phi\sin\theta)=a\cos \phi$

$\sin(\phi-\theta)=\frac{a\cos\phi}{b}$

$\phi-\theta=\sin^{-1}\frac{a\cos\phi}{b}$

輕易得到

$\theta = \phi - \sin^{-1}\frac{a\cos\phi}{b}$

閃過腦中：把 M2 的三角學題目，以圖輔助純考慮直角三角形等技巧，或可構作中三數學的（所謂）挑戰題吧？有時間試試。

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