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某積分

May 14, 2015, 2:37 am

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網上見某中學的積分題，求

$\displaystyle \int\frac{e^x(x\ln x+1)}{x}dx$

其實出題的 idea 不難，不過是運用

$\frac{d}{dx}e^xf(x)=e^x(f(x)+f'(x))$

而已。

比如，設

$f(x)=\ln x$ ，則 $e^x(f(x)+f'(x))=e^x(\ln x+\frac{1}{x})$ ，於是

$\int\frac{e^x(x\ln x+1)}{x}dx=e^x\ln x+c$ （for x > 0 ）

只要玩不同的 f(x) ，甚至改變一下 e^x 的冪，便可出不是題目，隨便舉例：

1. $\displaystyle \int e^x(\sin^{-1}x+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})dx$ = ?

2. $\displaystyle \int \frac{\ln x-x^{-1}}{e^x}dx$ = ?

3. $\displaystyle \int e^{\sin x}(-\sin x+\cos^2 x)dx$ = ?

諸如此類。

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