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蠕蟲悖論
很久以前聽聞蠕蟲悖論這個謎題，今天隨便在書櫃拿本書翻翻，見： 想一想 秒有多長？按一按： http://www.wolframalpha.com/input/?i=2%5E197+seconds+%3D+years 嘩！那蟲要活超過 年！這也頗「騙人」吧？當然 年不是「永遠」，但以純數學考慮實際事情，或有盲點。...
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a(1-a)
以下是中四數學某題：證明 學了二次函數，不難知 的最大值是 （利用配方法又可，背公式也可～）幾步 K.O. 現在利用初中數學解之。 考慮邊長為 1 的正方形，畫條對角線，見下： 參考下圖，考慮長方形，其底邊長 單位（其中 ），而該長方形某角在正方形之對角線上，那麼長方形的闊，必然長 單位。（為何？） 如此， 代表該長方形的面積。 但這長方形的面積，必不超過上圖中的三角形面積之一半，理由詳見：...
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SMS
n 年前在學校找到這本中學數學雜誌： 上網找找，昔日的 Mathematical Medley，可下載，正！ http://sms.math.nus.edu.sg/smsmedley/smsmedley.aspx
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數算題
以下是純數某基本題，證明 現在用 core mathematics 的方法處理。 設有男生 n 人，女生 n 人。 從這 2n 人選出 n 人組成班會，其中一人是主席，且主席一定要是男生。 那麼，總共有多少種選法？ 先選一個男生作主席，共 種選法。 再從餘下的 (2n-1) 人中選 (n-1) 人作班會成員，共 種選法。 故班會成員共有 種選法。 好了，現在以另一個方式數算之。 在 n 個男生中選...
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存在非平凡解的齊次線性方程組
以下是一道普通的 M2 題目： 已知以下線性聯立方程有非平凡解（non-trivial solution） 求 值。 因方程組是齊次的（homogeneous），要有非平凡解，只要設 ，即 便可，從而解出 但有同學利用 Gaussian elimination，得 ~ ~ ~ 因方程組有非平凡解，觀察上述第三式，即 解出 咦，奇怪了，一早知 ，為何用 Gaussian elimination，得不到...
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M2 堂偶拾
教 vector 時，堂上偶得： 1. 其實沒有甚麼特別，只要考慮邊長 1 單位的正方形如下： 比如利用 vector 或 cosine formula，不難得 （） 2. (a) 問 是何值使 達到最小值？ 不想用微積分，可以利用 vector 處理： 設 A(1,5)，當中 1 和 5 分別是 及 的 係數； 設 B(6,-3)，當中 6 和 -3 分別是 及 的常數項； 設 C 是直線...
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某 m2 題
堂上給學生做習題，是來自 2009 年的 hkdse math(M2) sample paper Q.9 Part (c) 的建議答案，考慮 考慮 為 及 的線性組合（linear combination），即 （其中 p,q 為非零實數） 易知 和 及 共面。 再加它上 ，即把 平移到另一個面，和 OBDA 的距離，剛好是平行六面體的高度，即 （其中 p,q 為非零實數）...
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有關數學家張益唐的報導
早前在顏冊貼過片，今天看雜誌時見這篇，也貼貼作記錄： 資料來源：《大贏家》2014年12月號 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%A0%E7%9B%8A%E5%94%90
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某些M2題
早前匆匆取書商的題給學生練習。或許書商出版時也是匆匆而往，有些問題可能有些問題： Q.1 解題時見 ，我第一時間問： 和 哪個較大？ 當寫出 sum of roots： 時，同學已指出：冇可能！因為 和 的最大值不過是 1。 此題報廢。 Q.2 解題如下： 一般理解：起點 A 和終點 B 的位置固定，只變 C 點得出不同的運貨成本。 但如此例，C 好像「動彈不得」，因為...
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由零開始
相信有些讀者對以下舊題毫不陌生： （1936 年的莫斯科奧數題目） 證明任何正整數皆可表成三個 2 和一些數學符號的組合。（見下 2.1.3） （摘自：https://zh.scribd.com/doc/243423156/56/Answers-to-selected-problems-of-Moscow-mathematical-circles） 只要觀察： 如此類推，不難想像，要製作正整數...
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被 8 整除
1.問題 證明對於任何正整數 ， 必可被 8 整除。 2.解答 (a) 本來利用 Mathematical Induction (M.I.) 來證明是很輕易的，但現在的 M2 課程已刪除了整除性，相信中四五的同學，要解題不易。 只寫 這步： 由於 必然是偶數，故上式變成 （其中 是正整數） 即可被 8 整除也。 (b) 如果不想用 M.I.，又可以怎樣處理？一般都是這樣考慮的： 只要證明 （mod...
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推特老題
早前在推特見： 他們討論著，並表示不知道如何得出如此美妙式子。 如何美妙？修 M1，M2 的同學應該不難察覺，式子包含二項系數（binomial coefficients）， １１ １２１ １３３１ １４６４１ … 並且，把等號左邊的項加起來，得右邊單項式作分子云云。 但有修純數的人，相信很快察覺，那不過是一道有關部份分式（partial...
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just a core math question involving variance
Just reply to a student about a core math question used in school exam. Question Let , be the mean and variance of {} respectively. Show that the mean and variance of the set {} are and respectively....
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某數算題
Just reply to a F.5C student on a basic core mathematics question (on P.5.38): There are 8 outstanding students from junior forms and 9 outstanding students from senior forms in a school this year. 5...
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黑白球
同事擬某基本概率題： In a game, Evan has to draw balls from a bag containing 2 black balls and 3 white balls one by one without replacement. If he gets two consecutive black balls, he wins; otherwise he loses....
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玩 nCr
網遊時偶見有個結果： 若要學生證之，他們或以 作代數運算。 但以數算（counting）概念處理，甚易。 只要（比方說）考慮 m 男，n 女；選 2 人出來的組合，共 ；但 2 人可以是 2 男；2 女或 1 男 1 女；對應選法分別是 ， 及 ；於是 繼續演化… 一般地， ……….. (*) 代入 ，得 另一個方向演化… 代入 ，(*) 變成 把 m,n 角色互換，得 結合上面兩式，得...
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數算球入盒
基本問題：把若干球放入若干盒子，共多少種放法？下表是總結： 以下 3 個情況屬 core mathematics 的範圍： （一） e.g. k = 4 個球上分別寫上 a,b,c,d，即 4 個球是不同的，是可分辨的；n = 3 個盒子上，分別貼上號碼 1,2,3，即 3 個盒子是不同的，是可分辨 的。 a 球可以入盒 1, 盒 2 或盒 3，共 3 種選擇； b 球可以入盒 1, 盒 2 或盒...
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鈄截柱體體積
1.緣起 某次中三共同備課堂，同事甲提出證明錐體體積的方法，如下： 考慮一個鈄截正三角柱體（truncated right triangular prism），即三條側棱皆與底垂直者： 設側棱長度分別為 。因其體積是底面積 A 乘以「平均高度」，即鈄截正三角柱體的體積為 於是對於錐體，其底面積為 A，高為 h 者， 只要代入 ；，便知其體積是 同事乙立即指出，若非考慮三角，而是四角鈄截柱體，其體積...
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表面面積
古語有云：「我鍾意食水果，每一個國家必須要食。」過年期間更要多吃水果，有助消化。 受網友啟發，兼剛開始教球體表面面積，於是找來一個乜乜乜橙： 度過，半徑大概 4 cm 吧。身為數學授課員，慚愧，家中竟無圓規，唯有空手入白刃，盡量畫，肯肯定冇前輩老師在黑板畫得那麼圓～ 搣橙鳥，鳴謝教協報躺著墊底。 好了，重點。看！橙皮「剛剛好」鋪滿 4 個圓圈呀！咁球體表面面積咪即係 4 圓面積囉， 即 。 羊年快樂！
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三角形內切圓
以下是同事擬的某 MC 題目：直角三角形內有兩圓相切，三角形邊亦是圓的切線，問較小的圓之半徑多長？（見下圖。我懶，只用手機隨便畫，見諒） 在對卷時同事問，內切圓可以類似模式生成，即 那麼，有關半徑的數列是否等比數列（G.S.）？ 其實這正是 geometric sequence 這課題的常見題目，溫習一下吧： 直角三角形與否並不重要，關鍵是圓心在兩邊夾角的角平分線上，我只畫兩邊：...
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