被 8 整除

1.問題

證明對於任何正整數 ，

必可被 8 整除。

2.解答

(a)

本來利用 Mathematical Induction (M.I.) 來證明是很輕易的，但現在的 M2 課程已刪除了整除性，相信中四五的同學，要解題不易。

只寫 這步：

由於

必然是偶數，故上式變成

（其中 是正整數）

即可被 8 整除也。

(b)

如果不想用 M.I.，又可以怎樣處理？一般都是這樣考慮的：

只要證明

　（mod 8）

便可。

即是把正整數分為 8 類：就是分別把它除以 8 後，餘數為 0,1,2,…,7 這 8 類。如果這 8 類整數代入

後，都是 8 的倍數（可被 8 整除），便有

　（mod 8）

只要檢查 的情況：

發覺

皆可被 8 整除，即

　（mod 8）

證畢。

3.沿起

其實這個表達式

有何特別？這個能被 8 整除的它，是如何被製作出來？

原來是考慮數算（counting）而來。

考慮一條珍珠手鍊，當中有 4 顆形狀大小一樣的珍珠，如果珍珠塗上顏色，而可選用的顏色有 種，那麼珍珠手鍊的可能組合，共有

種。

（如此， 必能被 8 整除。）

比如，可選取的顏色只有黑白兩種（即 ），即珍珠手鍊的可能組合有

種，分別是以下情況：

如何得到

這個式子？不過是伯恩賽德引理（Burnside’s lemma），希望遲些在學校數學學會出的雜誌寫少少東西介紹一下。

（知識比珍珠，何者更美？）

4.習題

利用伯氏引理，不難得到一些類似本文提及的題目。

比如，考慮立方體填 色的可能組合數目，便可知

可被 24 整除，見：

http://en.wikipedia.org/wiki/Burnside%27s_lemma