由零開始

相信有些讀者對以下舊題毫不陌生：

（1936 年的莫斯科奧數題目）

證明任何正整數皆可表成三個 2 和一些數學符號的組合。（見下 2.1.3）

（摘自：https://zh.scribd.com/doc/243423156/56/Answers-to-selected-problems-of-Moscow-mathematical-circles）

只要觀察：

$1=-\log_2\log_2\sqrt{2}$

$2=-\log_2\log_2\sqrt{\sqrt{2}}$

$3=-\log_2\log_2\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}$

$4=-\log_2\log_2\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}$

如此類推，不難想像，要製作正整數，只要 3 個 2 和個開方根號便可。

現在問：由零開始，可否製造出所有正整數呢？

::: 停一停，想一想 :::

可以的，設

$\tan\theta = x$

$\Rightarrow \sec\theta=\sqrt{1+x^2}$

故

$\sec\tan^{-1}x=\sqrt{1+x^2}$

好了，由零開始，

$\sec\tan^{-1}(0)=1$

$\sec\tan^{-1}(1)=\sqrt{2}$

$\sec\tan^{-1}(\sqrt{2})=\sqrt{3}$

$\sec\tan^{-1}(\sqrt{3})=\sqrt{4}$

…

即是說，由零開始，加上 n^2 個 operators $\sec\tan^{-1}$ 便可得到。

如是者，或可簡單些：

設 f(x)=x+1 ，則 f(f(f(...(0)...)))=n （共個）

無聊鳥，anyway，大家放假輕鬆吓吧～

由零開始

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