推特老題

早前在推特見：

他們討論著，並表示不知道如何得出如此美妙式子。

如何美妙？修 M1，M2 的同學應該不難察覺，式子包含二項系數（binomial coefficients），

１１
１２１
１３３１
１４６４１
…

並且，把等號左邊的項加起來，得右邊單項式作分子云云。

但有修純數的人，相信很快察覺，那不過是一道有關部份分式（partial fractions）的基本題目（搖頭中）。Okay，做數時間。

朋友或不能第一時間看出式子右邊分子的系數：1,2,6,24,… 有何特別，

不要緊，只要考慮分解下式

$\frac{x^k}{(x+1)(2x+1)(3x+1)\dots (kx+1)}$

成為部份分式，

但不要忘記，上述有理分式是 improper 的，所以要先把分子除以分母，得出 proper 的分式才可開始分解，即

$\frac{x^k}{(x+1)(2x+1)(3x+1)\dots (kx+1)}=1+\frac{x^k-(x+1)(2x+1)(3x+1)\dots (kx+1)}{(x+1)(2x+1)(3x+1)\dots (kx+1)}$

設

$\frac{x^k-(x+1)(2x+1)(3x+1)\dots (kx+1)}{(x+1)(2x+1)(3x+1)\dots (kx+1)}\equiv \frac{a_1}{x+1}+\frac{a_2}{2x+1}+\dots +\frac{a_k}{kx+1}$

右邊通分母，再比較左右兩邊的分子，得

$x^k-(x+1)(2x+1)(3x+1)\dots (kx+1)$

$\equiv a_1(2x+1)(3x+1)\dots (kx+1)+a_2(x+1)(3x+1)\dots (kx+1)+a_3(x+1)(2x+1)(4x+1)\dots (kx+1)+\dots +a_k(x+1)(2x+1)\dots ((k-1)x+1)$ ………….. (*)

留意，右邊共項，每項都是形如

$a_r(x+1)(2x+1)\dots (kx+1)$ ，這裡只有 k-1 個括弧，因為當中沒有了 (rx+1) 。

要得 a_r ，我們在式 (*) 代入 $x=-\frac{1}{r}$ ，得

$(-\frac{1}{r})^k=a_r(-\frac{1}{r}+1)(-\frac{2}{r}+1)(-\frac{3}{r}+1)\dots (-\frac{r-1}{r}+1)(-\frac{r+1}{r}+1)(-\frac{r+2}{r}+1)\dots (-\frac{k}{r}+1)$

$\frac{(-1)^k}{r}=a_r(r-1)(r-2)\dots(3)(2)(1)(-1)(-2)\dots(-(k-r))=a_r(r-1)!(-1)^{k-r}(k-r)!$

故

$a_r=\frac{(-1)^rC^k_r}{k!}$

即是說

$\frac{x^k}{(x+1)(2x+1)(3x+1)\dots (kx+1)}$

$=\frac{1}{k!}-\frac{C^k_1}{k!(x+1)}+\frac{C^k_2}{k!(2x+1)}-\frac{C^k_3}{k!(3x+1)}+\dots+\frac{(-1)^rC^k_r}{k!(kx+1)}$

可見二項系數 C^k_r 出現鳥～

比如以取代，考慮 k=5 ，得

$\frac{n^5}{(n+1)(2n+1)(3n+1)(4n+1)(5n+1)}=\frac{1}{5!}(1-\frac{5}{n+1}+\frac{10}{2n+1}-\frac{10}{3n+1}+\frac{5}{4n+1}-\frac{1}{5n+1})$

也一併看出原式右邊分子的系數：1,2,6,24,… 的通項是了。

推特老題

Trending Articles

《沈冰自述——我和周永康的故事》全本

Moog - Subsequent 25

出售: 林憶蓮•回來愛的身邊 (東芝1A1頭版)

筆記 - 使用 PowerShell 清除停用 AD 帳號與 OU

df-dferh-01 中国区 Android 安装 Google Play Store 后报错的解决办法

「一棒接一棒、棒棒強棒」108學年度家長會長交接典禮

吸烟与MBTI类型判断捷径 (豆瓣 INFJ的奇幻之旅小组)

acermark龍璿國際展出多款包裝設備

枋寮北勢寮隆山宮睽違12年再辦迎王祭典

日本女优有村千佳COS集锦：狂三&黑白岩&亚丝娜&绫波丽

有遇到过这个问题么。/jsb-videoplayer.js not found, possible missing file.

MAS v2.8 magicgenius 汉化版 - 11.11更新

出售: Monster Cable Interlink Reference 2

福建佛教人士望云和尚(林斌)的九仙禅寺被强行收走，望云妈妈被赶出寺庙

R 语言中的OpenBLAS*和英特尔® 数学核心函数库的性能比较

[转载]煞貢、直星、人專吉日\金神七煞歌

HAKERS哈克士戶外 12月8~14日廠拍

OBS Studio 23.2.1 免安裝中文版 - 免費網路實況廣播軟體實況主必備軟體取代Fraps

<請教>行駛中安卓機會重新開機

Udp2raw-tunnel 及其一键安装脚本