三角形內切圓

以下是同事擬的某 MC 題目：直角三角形內有兩圓相切，三角形邊亦是圓的切線，問較小的圓之半徑多長？（見下圖。我懶，只用手機隨便畫，見諒）

在對卷時同事問，內切圓可以類似模式生成，即

那麼，有關半徑的數列是否等比數列（G.S.）？

其實這正是 geometric sequence 這課題的常見題目，溫習一下吧：

直角三角形與否並不重要，關鍵是圓心在兩邊夾角的角平分線上，我只畫兩邊：

設相鄰大小兩圓的半徑分別是 r_1,r_2 ，現在看看 r_1 和 r_2 有何關係。

由 $\Delta OO_1T_1 \sim \Delta OO_2T_2$ ，知

$\frac{r_2}{r_1}=\frac{OO_2}{OO_1}$

設 OO_1=a ，則

$\frac{r_2}{r_1}=\frac{OO_2}{OO_1}=\frac{a-(r_1+r_2)}{a}$

代簡後得

$r_2=r_1\frac{a-r_1}{a+r_1}=r_1\frac{a-a\sin\theta}{a+a\sin\theta}=r_1\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}$

因 $\theta$ 是常數，則任何相鄰兩個之半徑之比為常數，即 $r_1,r_2,r_3,\dots$ 是等比數列。

重做同事那題，

$r_1=\frac{6\times 8}{6+8+10}=2$

$\theta=\tan^{-1}(\frac{6}{8})\div 2=18.43^o$

所以

$r_2=2\times \frac{1-\sin 18.43^o}{1+\sin 18.43^o}=1.04$

（無聊後記）關於無限內切圓的問題，以下是經典題：求下圖中灰圓的總面積。

不過，可能要用 Möbius transformation 吧～