鈄截柱體體積

1.緣起

某次中三共同備課堂，同事甲提出證明錐體體積的方法，如下：

考慮一個鈄截正三角柱體（truncated right triangular prism），即三條側棱皆與底垂直者：

設側棱長度分別為 h_1,h_2,h_3 。因其體積是底面積 A 乘以「平均高度」，即鈄截正三角柱體的體積為

$V=A\frac{h_1+h_2+h_3}{3}$

於是對於錐體，其底面積為 A，高為 h 者，

只要代入 h_1=h_2=0 ； h_3=h ，便知其體積是

$V=A\frac{0+0+h}{3}=\frac{1}{3}Ah$

同事乙立即指出，若非考慮三角，而是四角鈄截柱體，其體積

$V=A\frac{h_1+h_2+h_3+h_4}{4}$

豈不是錯誤地推出錐體體積是

$V=\frac{1}{4}Ah$

嗎？

那刻我非常開心，因為有可以研究的問題了！

（注：和同事一樣，覺得教科書沒有好好證明體積公式，想向學生介紹一二，於是我曾於 2007 年在學校數學周談了題為「槓杆原理與牟合方蓋」的所謂講座，ppt 檔見下：https://dl.dropboxusercontent.com/u/19150457/SFXC/johnmayhk-talk-2007.pps）

2.古法

向初中學生解說錐體體積公式之來源，先考慮三角錐體

把底部（藍色部份）向上平移，使頂點到達錐體頂角（見上圖右）。把上面的三角頂點連線到底部的對應頂點，生成一個鈄柱體（見下圖）

這個鈄柱體的體積是底面積乘以高（高即兩個藍色三角面的距離），證明？不過是祖暅原理：「緣冪勢既同，則積不容異」吧，不多說了。

把柱體之角名之，連 BD，見下

可見柱體被分成三個錐體：VABC，BVED 和 VCDB。

現在要證明這三個錐體的體積是一樣的。

先有這個事實：若兩個錐體有相同的高及相同的底面積，則兩個錐體體積也相同。（為何？）

VABC 和 BVED 有同樣的底面積和高，故體積相同。

至於 BVED 和 VCDB，若視它們的底分別為 EBC 和 CDB；那麼 BVED 和 VCDB 是等高的（高是 V 和 EBCD 的距離）；且易知 EBC 和 CDB 的面積相同（因為 EBCD 是平行四邊形），故 BVED 和 VCDB 的體積相同。

所以 VABC，BVED 和 VCDB 體積相同，於是

VABC 的體積是鈄柱體體積的 $\frac{1}{3}$ ，即三角錐體體積是 $\frac{1}{3}Ah$ 。

進而，對一般的錐體，只要把底進行三角化，便可以把它分割成若干個等高的三角錐體，於是原來錐體的體積亦是 $\frac{1}{3}Ah$ 。

3.最快捷方法

向懂微積分的中學生解說錐體體積公式之來源，如下：

考慮底面積（注：底不一定是三角形）為，高為

考慮距離錐體頂點 V，單位的位置，平行底部的橫切面。面積和有關，或曰，面積是的函數，故可設該橫切面的面積為 A(z) ，見下

易知橫切面和底部相似（相似中心為錐體頂點 V），故

$\frac{A(z)}{A}=(\frac{z}{h})^2\Rightarrow A(z)=\frac{A}{h^2}z^2$

於是，錐體體積是

$\displaystyle \int_{z=0}^{z=h}A(z)dz =\displaystyle \int_{0}^{h}\frac{A}{h^2}z^2dz =\frac{Ah}{3}$

證畢。

4. 由錐體體積推算鈄截柱體體積

好了，回看那個鈄截正三角柱體：

其體積真是 $V=A\frac{h_1+h_2+h_3}{3}$ 嗎？

是。證明？如果知道錐體體積公式為 $\frac{Ah}{3}$ 的話，可以著初中同學證明一下，之前叫中三同學玩過。下圖中，設 b = min{a,b,c}，三角形 GEH 平行三角形 ABC。而 [ABC]，[DGHF] 分別代表 ABC 及 DGHF 的面積。

5. 直接推算鈄截柱體體積

現在，不使用錐體體積公式，如何證明 $V=A\frac{h_1+h_2+h_3}{3}$ ？

先溫習一下形心（centroid）與面積重心（area centroid）的概念，其實都是與物理上的重心（centre of gravity）有關。（注：讀者若已屬知這些概念，可直接看 d.主要證明）

a.形心

對於三角形，形心指中線（medians）的交點。若三角形在 x-y 平面上，頂點為 (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3) 則形心坐標為 $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ 。如果考慮 n 邊形（n > 3），頂點為 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots (x_n,y_n)$ 則形心坐標為 $(\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n},\frac{y_1+y_2+\dots +y_n}{n})$ 。那麼這個形心其實有何意義？詳見如下：

先考慮兩個質點，質量為和。

設此物體之（物理上的）重心距離質量的質點的位置（見圖），粗略地說，就是可以平衡整個物體的位置；考慮力矩（moment）大小相等，即

$mgr=Mgs \Rightarrow \frac{r}{s}=\frac{M}{m}$

現考慮 n 個相同質量（比如質量為 m）的質點，分別放在 n 邊形的頂點上，那麼這個總質量為 nm 的物體，其重心在哪？

原來 $(\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n},\frac{y_1+y_2+\dots +y_n}{n})$ 就是重心的位置。

現以 M.I. 證之。

為方便，設 $\overrightarrow{r_i}=(x_i,y_i)$ ，其中 $i=1,2,\dots ,n$

當 n=1 ，物體是單一質點，重心當然在它所在位置 (x_1,y_1) 。

假設對於任何個質量相同的質點，重心在 $\frac{\displaystyle \sum^k_{i=1}\overrightarrow{r_i}}{k}$ 這位置。

考慮 n=k+1 個質量為的質點，當中頭個質點，等效於一個質量為的質點，安放在 $\frac{\displaystyle \sum^k_{i=1}\overrightarrow{r_i}}{k}$ 的位置；再加上放在 $\overrightarrow{r}_{k+1}$ 的位置，質量為的質點，設此物體（兩個質量分別為和的質點）之重心距離質量的質點的位置。由上式 $\frac{r}{s}=\frac{M}{m}$ 及分點公式（section formula），知重心位置在

$\frac{k}{k+1}\frac{\sum^k_{i=1}\overrightarrow{r_i}}{k}+\frac{1}{k+1}\overrightarrow{r}_{k+1}=\frac{\displaystyle \sum^{k+1}_{i=1}\overrightarrow{r_i}}{k+1}$

證畢。

b.面積重心

考慮平面圖形和某條在其同一平面的固定直線，見下：

定義面積重心距離該固定直線之距離為

$\frac{\int xdA}{A}$

其中是該圖形之面積。

若把圖形安放在 x-y 平面，面積重心之坐標 (x_c,y_c) 為

$x_c=\frac{\int \int xdxdy}{A}$

$y_c=\frac{\int \int ydxdy}{A}$

那麼面積重心之物理意義為何？考慮一塊質量均勻分佈的薄片，那麼面積重心就是該薄片之重心。證明簡單，不贅。

c.三角形的形心與面積重心必然重疊

考慮三角形的面積重心之位置，比方說，求面積重心和底之距離。

設三角形的底和高分別為和。

面積重心和底之距離是

$\frac{\int_ApdA}{A}=\frac{\int_0^hp(\frac{h-p}{h})bdp}{\frac{1}{2}bh}=\frac{h}{3}$

可見，面積重心和三角形任何一條邊之距離，也是以該邊為底之高的 $\frac{1}{3}$ 。

而三角形的形心與頂點和形心與對邊中點之距離比為 1:2，

即形心和三角形任何一條邊之距離，也是以該邊為底之高的 $\frac{1}{3}$ 。

於是，對於三角形，面積重心和形心重疊。

d.主要證明

考慮正鈄截三角柱體

設其底，B，放在 x-y 平面上。若截面方程為 z=ax+by+c ，則該立體之體積為

$\int \int_B zdxdy=\int \int_B (ax+by+c)dxdy$

如果把 B 的面積重心放在原點 O，即

$\int \int_B xdxdy=\int \int_B ydxdy=0$ ，那麼上式進一步化為 $\int \int_B cdxdy=c\int \int_B dxdy$

即是說，體積是「 $c\times$ 底 B 的面積」，現在要證明 $c=\frac{h_1+h_2+h_3}{3}$ 。

考慮 B 的頂點坐標為 (a_1,b_1,0), (a_2,b_2,0), (a_3,b_3,0) 。

因三角形的面積重心與形心重疊，而 B 的面積重心在 O，故 $\frac{a_1+a_2+a_3}{3}=\frac{b_1+b_2+b_3}{3}=0$ 。

經過 O 垂直 x-y 平面的線（或曰 z-axis）交截面於 (0,0,c) ；

已知截面的頂點坐標為 (a_1,b_1,h_1), (a_2,b_2,h_2), (a_3,b_3,h_3) ，故截面的形心為

$(\frac{a_1+a_2+a_3}{3},\frac{b_1+b_2+b_3}{3},\frac{h_1+h_2+h_3}{3})=(0,0,\frac{h_1+h_2+h_3}{3})$

留意到三面形之形心必然在該三角形上，故

$c=\frac{h_1+h_2+h_3}{3}$

證畢。

6. 推廣及回應

a.如果不是鈄截正三角柱體？

對於一般的鈄截三角柱體（oblique prism），其體積一定可以是兩個正鈄截三角柱體之和或差，見下圖

所以知道鈄截正三角柱體的體積已足夠。

b.如果不是三角底？

比如上圖的柱體，側棱是 h_1,h_2,h_3,h_4 ，把底分成兩個三角形（分別對應 h_1,h_2,h_4 及）面積為 A_1,A_2 ；則鈄截正四角柱體的體積為 $A_1(\frac{h_1+h_2+h_4}{3})+A_2(\frac{h_2+h_3+h_4}{3})$ 。留意，上圖側棱頂端的四點並非共面。

c.鈄截正柱體，即側棱頂端的點共面者如何？

一般地，正鈄截柱體之底是 n 邊形（ n > 3 ），其體積不一定是 $A(\frac{h_1+h_2+\dots +h_n}{n})$ 。但只要底的形心與其面積重心重疊，則上式正確。略談如下。

留意截面的面積重心垂直影射到底的面積重心：

為何？比如立體的某方向的視圖（view），如下

沿截面的量度為，對應沿底量度的距離為；若截面和底夾角為 $\theta$ ；則 $x'\cos\theta =x$ ，則 x'= 某常數 $\times x$ 。設底 B 的面積重心在原點 O，那麼截面的面積重心在

$\frac{\int \int_{B'}x'dx'dy}{\int \int_{B'}dx'dy}=k\frac{\int \int_{B}xdxdy}{\int \int_{B'}dx'dy}=0$

由 主要證明，知鈄截正柱體的體積為 $c\times$ 底面積，當中是由底的面積重心出發的垂線交截面之交點的 z-坐標，即截面面積重心和底面積重心之相距。因底面積重心與其形心重疊，即截面面積重心也與其形心重疊（想一想

$\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n\overrightarrow{r}_i}{n}=0$ ）　，故

$c=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^nh_i}{n}$ 　，

即此類鈄截正柱體的體積為

$A(\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^nh_i}{n})$

d.那麼考慮底的形心與其面積重心重疊的四邊形，推論錐體體積公式為何出錯？

底的形心與其面積重心重疊的四邊形是平行四邊形，設其側棱是 h_1,h_2,h_3,h_4 ，底面積是 $A(\frac{h_1+h_2+h_3+h_4}{4})$ ，那麼代入 h_1=h,h_2=h_3=h_4=0 ，那麼錐體體積豈不是 $\frac{1}{4}Ah$ 嗎？不對，因為代入是不合理的。因為公式只對底為平行四邊形的斜截正柱體而言才正確，想想，起碼要側棱的四個頂端點共面，即是 h_1,h_2,h_3,h_4 是有關的，不是任意的，不能隨便代入 h_1=h,h_2=h_3=h_4=0 。

已知截面形心垂直投影於底之形心，

因平行四邊形的對角線互相平分，以某對角線為底的視圖見下：

即中點就是形心，而截面之形心也在中點。故此，若設截面頂點為 $\overrightarrow{r'}_1,\overrightarrow{r'}_2,\overrightarrow{r'}_3,\overrightarrow{r'}_4$ ；得 $\overrightarrow{r'}_1+\overrightarrow{r'}_3=\overrightarrow{r'}_2+\overrightarrow{r'}_4$ ；可見

h_1+h_3=h_2+h_4 。

於是，由斜截正三角柱體體積公式（即 $A(\frac{h_1+h_2+h_3}{3})$ ），把以平行四邊形為底之斜截正四角柱體分成兩個斜截正三角柱體，故總體積為

$\frac{A}{2}(\frac{h_1+h_2+h_3}{3})+\frac{A}{2}(\frac{h_1+h_3+h_4}{3})$
$=\frac{A}{2}(\frac{2(h_1+h_3)+h_2+h_4}{3})$
$= A(\frac{h_1+h_3}{2})$
$= A(\frac{h_1+h_2+h_3+h_4}{4})$

驗算正確。

7. 其他

在思考斜截正三角柱體體積的過程，也曾用

1.具體的二重積分；
2.把斜截正三角柱體壓縮成塊截面，截面質量等於柱體總質量，但質量分佈非均勻，而是線性變化；再用積分，可求總質量，從而得總體積。

這些方法當然不及抽象地考慮 $\int \int_B zdxdy$ 簡單。

鈄截柱體體積

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