Channel: Quod Erat Demonstrandum

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玩 nCr

February 2, 2015, 11:30 pm

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網遊時偶見有個結果：

$C^{m+n}_2=C^m_2+C^n_2+mn$

若要學生證之，他們或以

$C^n_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

作代數運算。

但以數算（counting）概念處理，甚易。

只要（比方說）考慮 m 男，n 女；選 2 人出來的組合，共 $C^{m+n}_2$ ；但 2 人可以是 2 男；2 女或 1 男 1 女；對應選法分別是 C^m_2 ， C^n_2 及 C^m_1C^n_1=mn ；於是

$C^{m+n}_2=C^m_2+C^n_2+mn$

繼續演化…

$C^{n+n}_2=C^n_2+C^n_2+n\times n \Rightarrow C^{2n}_2=2C^n_2+n^2$

$C^{2n+n}_2=C^{2n}_2+C^n_2+2n\times n \Rightarrow C^{3n}_2=(2C^n_2+n^2)+C^n_2+2n^2=3C^n_2+3n^2$

$C^{3n+n}_2=C^{3n}_2+C^n_2+3n\times n \Rightarrow C^{4n}_2=(3C^n_2+3n^2)+C^n_2+3n^2 =4C^n_2+6n^2$

一般地，

$C^{kn}_2=kC^n_2+(1+2+\dots +(k-1))n^2=kC^n_2+\frac{k(k-1)}{2}n^2$ ……….. (*)

代入 k=n ，得

$C^{n^2}_2=nC^n_2+\frac{n^3(n-1)}{2}$

另一個方向演化…

代入 k=m ，(*) 變成

$C^{mn}_2=mC^n_2+\frac{m(m-1)}{2}n^2=mC^n_2+n^2C^m_2$

把 m,n 角色互換，得

$C^{nm}_2=nC^m_2+m^2C^n_2$

結合上面兩式，得

mC^n_2+n^2C^m_2=nC^m_2+m^2C^n_2

這就製作出可以給學生做練習的證明題。

又另一個方向演化…

以數算概念，易知

$C^{m+n+r}_2=C^{m+n}_2+C^r_2+(m+n)r=C^m_2+C^n_2+C^r_2+mn+nr+rm$

$C^{m+n+r+s}_2$

$=C^{m+n+r}_2+C^s_2+(m+n+r)s$

=C^m_2+C^n_2+C^r_2+C^s_2+mn+mr+ms+nr+ns+rs

又另一個方向演化…

以數算概念，易知

$C^{m+n}_3=C^m_3+C^n_3+C^m_2C^n_1+C^n_2C^m_1=C^m_3+C^n_3+nC^m_2+mC^n_2$

循之前有關 $C^{kn}_2$ 的做法，不難得

$C^{kn}_3$ 的式子，同學可試試。

諸如此類，以前在純數課程也有遇過製作涉及 C^n_r 的式子，投巧：

– 代數字（substitution）
– 比較系數（comparing coefficients）
– 求導（differentiation）
– 求積（integration）

現只用「比較系數」玩：

考慮

$(1+x)^{2n}=(1+x)^n(1+x)^n$

比較等號左右的 x^k 的系數，知

$C^{2n}_k=C^n_0C^n_k+C^n_1C^n_{k-1}+C^n_2C^n_{k-2}+\dots +C^n_{k-1}C^n_1+C^n_kC^n_0$

代入

k=2 ，得之前的結果，見：

$C^{2n}_2=C^n_0C^n_2+C^n_1C^n_1+C^n_2C^n_0=2C^n_2+n^2$

代入

k=3 ，得：

$C^{2n}_3=C^n_0C^n_3+C^n_1C^n_2+C^n_2C^n_1+C^n_3C^n_0=2C^n_3+nC^n_2$

又另一個方向演化…

考慮

$(1+x)^{3n}=(1+x)^n(1+x)^n(1+x)^n$

比較等號左右的 x^k 的系數，知

$C^{3n}_k=C^n_0C^n_0C^n_k+C^n_0C^n_1C^n_{k-1}+C^n_0C^n_2C^n_{k-2}+\dots +C^n_kC^n_0C^n_0$

不難知等號右面共 $C^{k+2}_2$ 項。

代入

k=2 ，得：

$C^{3n}_3=C^n_0C^n_0C^n_3+C^n_0C^n_1C^n_2+C^n_0C^n_2C^n_1+C^n_0C^n_3C^n_0+C^n_1C^n_0C^n_2+C^n_1C^n_1C^n_1+C^n_1C^n_2C^n_0+C^n_2C^n_0C^n_1+C^n_2C^n_1C^n_0+C^n_3C^n_0C^n_0$

注，等號右面共 $C^{3+2}_2=10$ 項，數法如下（貼圖而不解釋，讀者自行參透）：

化簡，得

$C^{3n}_3=3C^n_3+6nC^n_2+n^3$

應該還可以繼續玩下去，但都是停於此。

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