黑白球

同事擬某基本概率題：

In a game, Evan has to draw balls from a bag containing 2 black balls and 3 white balls one by one without replacement. If he gets two consecutive black balls, he wins; otherwise he loses. Find the probability that he wins.

標準答案如下：

P(wins)
=P(BB)+P(WBB)+P(WWBB)+P(WWWBB)
=
=

有沒有留意，盒內共有 5 球，黑球 2 個， 就是從盒取 1 球，得黑球之機會。

試用別的例：盒內共有 7 球，黑球 3 個，Evan 取勝之機會，按標準答案之做法：

看，又是等於在盒子取 1 球，得黑球之機會。

這逼使我想：是否存在簡單方法處理原問題及其一般情況？結果如下。

（一）設盒內共有 n 球（），黑球 2 個。求連取 2 黑球之機會。

把黑球名之曰 1,2；其它球是 3,4,5,…,n。

那麼樣本空間不過包含 n 個不同的球在排隊，故 n(S) = n!

要兩黑球連續出現，只要視兩黑球為同一球，故排法有 (n-1)! 種，但兩黑球的排法有 (1,2) 和 (2,1) 兩種，故 n(E) = 2*(n-1)!

所以，

（二）設盒內共有 n 球，黑球 m 個（）。求連取 m 黑球之機會。

以（一）的考慮方式，得

（三）設盒內共有 n 球，黑球 m 個（）。求連取 2 黑球之機會。

由（二）的答案出了啟示，出現 ，代表不一定要考慮樣本空間的元為有序的。

為舉例，設盒內共有 n=7 球，黑球有 m=3 個。

現不為球編號，即 3 個黑球不能分辨，4 個白球也不能分辨。樣本空間的元，例如有

●○●○●○○
○○●●○●○

等。

即 7 個不同的位置找 3 個放黑球，即

連續兩個位放黑球，如

○○●●○●○
●●○●○○○
○●●●○○○

等，有多少組合方式？因球不可分辨，不妨視兩黑球為同一球，即盒中好像只有 7-1=6 球，而上述 3 個元就對應著以下情況：

○○●○●○
●○●○○○
○●●○○○

要數算有多少組合，就是在 7-1=6 個位置，找 3-1＝2 個位置放黑球，即 ；於是

盒內共有 n 球，黑球 m 個（），連取 2 黑球之機會

這就相當於盒內共有 n 球，黑球 m 個，取 1 球得黑球之機會也。

（四）設盒內共有 n 球，黑球 m 個（）。求連取 r 黑球之機會。

留給讀者破之。

當然同事的卷不淺，後續問條件概率，也要服從標準答案的方法。

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