M2 堂偶拾

教 vector 時，堂上偶得：

1.

其實沒有甚麼特別，只要考慮邊長 1 單位的正方形如下：

比如利用 vector 或 cosine formula，不難得

　　（）

2.

(a) 問 是何值使

達到最小值？

不想用微積分，可以利用 vector 處理：

設 A(1,5)，當中 1 和 5 分別是 及 的 係數；

設 B(6,-3)，當中 6 和 -3 分別是 及 的常數項；

設 C 是直線 AB 上某點，其中 AC : CB = 1 : x，那麼利用 section formula，易知

留意到

平面上，當 C 在直線 AB 上變動，（即線段 的長度）何時最小？就是當 時。於是有

循上述討論，進一步問：

(b) 求 的最小值。

把 代進去吧？

不用的，甚至連 都不用求出來。（注：利用微積分也要先求 吧～）

只要想一想， 是 OC 的長度，

而當 OC 的長度最小，即 時，

OC 的長度就是 O 和直線 AB 的 perpendicular distance。

本例，易知直線 AB 的方程為　，

由以前附加數課程，O 和 AB 的 perpendicular distance 是極易求出如下：

故

的最小值就是　。

這樣，不用微積分，也可求出 的最小值了。

不過，更一般地，處理

的所謂最大最小值問題，也可利用判別式 ，不需微積分甚麼吧～