存在非平凡解的齊次線性方程組

以下是一道普通的 M2 題目：

已知以下線性聯立方程有非平凡解（non-trivial solution）

求 值。

因方程組是齊次的（homogeneous），要有非平凡解，只要設 ，即

便可，從而解出

但有同學利用 Gaussian elimination，得

~

~

~

因方程組有非平凡解，觀察上述第三式，即

解出

咦，奇怪了，一早知 ，為何用 Gaussian elimination，得不到 這個可能值？

::: 停一停，想一想 :::

這裡小心，我們正考慮齊次方程組。

就算

（即 and ）

原方程組也可以有非平凡解，因為當

由第三式，得

再由第二式，得

故此，只要

原式也可以出現非平凡解。

這樣，利用 Gaussian elimination 後，除了考慮第三式，還要考慮第二式，才得出 。

處理存在非平凡解的齊次線性方程組，似乎考慮 較簡便。