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某積分

August 8, 2015, 9:06 am

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修 M2 的同學懂得求

$\int x^2\sqrt{1+x^2}dx$

課程告之，方法可以設

$x=\tan\theta$

之後要處理

$\int\sec^3\theta d\theta$ 和 $\int\sec^5\theta d\theta$

而得，頗煩，同學可試試。

現在，我運用雙曲函數（hyperbolic functions）解之。何謂雙曲函數？因為現在修 M1 或 M2 的同學接觸過 Euler’s Number (Napier’s Number) e，所以要認識雙曲函數，其實唔難，看看以下連結，特別是 “Useful relations" 及 “Derivatives" 部份：

https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function

好，做數。

設

$x=\sinh(t)$

則

$dx=\cosh(t)dt$

故

$\int x^2\sqrt{1+x^2}dx$

$=\int \sinh^2(t)\sqrt{1+\sinh^2(t)}\cosh(t)dt$

$=\int \sinh^2(t)\cosh^2(t)dt$

（很有倍角公式 double-angle formulae 的感覺吧～）

$=\frac{1}{4}\int \sinh^2(2t)dt$

$=\frac{1}{8}\int (\cosh(4t)-1)dt$

$=\frac{\sinh(4t)}{32}-\frac{t}{8}+C$

現在把上式寫成 function in x 如下：

首先，

$\sinh(4t)$

$=\frac{1}{2}(e^{4t}-e^{-4t})$

$=\frac{1}{2}(e^{4\ln(x+\sqrt{1+x^2})}-e^{-4\ln(x+\sqrt{1+x^2})})$

$=\frac{1}{2}((x+\sqrt{1+x^2})^4-(x-\sqrt{1+x^2})^4)$

$=4x^3\sqrt{1+x^2}+4x(1+x^2)\sqrt{1+x^2}$

$=4x(2x^2+1)\sqrt{1+x^2}$

其次，

$x=\sinh(t) \Rightarrow t=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$

為何？不過是 quadratic equation 而已，見下

$x=\sinh(t)$

$\Rightarrow x=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$

$\Rightarrow 2xe^t=e^{2t}-1$

$\Rightarrow y^2-2xy-1=0$ 　（let y=e^t ）

$\Rightarrow y=\frac{2x+\sqrt{4x^2+4}}{2}$

$\Rightarrow e^t=x+\sqrt{1+x^2}$

$\Rightarrow t=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$

所以，

$\int x^2\sqrt{1+x^2}dx$

$=\frac{1}{8}(x(2x^2+1)\sqrt{1+x^2}-\ln(x+\sqrt{1+x^2}))+C$

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