某舊習題

不知大家曾否被數學題吸引？剛在書櫃找東西時，隨意翻閱我校某本過時的中學數學參考書（1942 年，第 5 版）

偶見一道頗吸引我的中學數學題：

證明：

若

，

則

我只是被那公整的模樣吸引，其實這是一道純數的基本習題。但舊書用的是應數的方法，見下：

首先要知

　,

於是，我們考慮

　,
　,
　,

無論 是多少，總可以取足夠小的 值，令 的值皆小於 1，以致上面三式成立（或曰：三個無窮級數收斂）。

三式加起，得

　　（因 ）

再取足夠小的 值，上式可變成

比較等號左右的 的係數，得

………. (*)

由於

得

且

（解釋另說）

故 (*) 變成

證畢。

好了，解釋一下，如 ，則 。

方法一：

　　（因 ）

　　（因 ）

方法二，比方法一簡潔，是純數的基本投巧：

首先要知，若 是以下三次多項式方程的根（roots）

則

這是韋達定理 (Viete's Theorem) ，同學試證之。

好了，因 ，不妨設 為下式的根

由於 是根，得

加起三式，得

完成。

好了，現在不難得

首先

　　（韋達定理）

且

　　（韋達定理）

再把上面曾出現的三式

分別乘以 ，得

加起，得

證畢。

[習題] 循上法，不難得：

若

，

則

同學，試得之。