一式過

比如要寫出以下數列的通項

$-1,1,-1,1,\dots$

應該不難得出

(-1)^n

吧。（這樣假設上述數列的變化模式不變，一直都是「負 1 正 1」咁去。）

但還有沒有其他可能？

有的，比如

$\cos(180^on)$

對於有「周期」變化的數列，例如

$1,2,3,1,2,3,\dots$

即

$T_n = \left \{ \begin{array}{ll} 1 \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} n = 1,4,7,\dots\\2 \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} n=2,5,8,\dots \\3 \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} n = 3,6,9,\dots \end{array}\right.$

之前都談過：

https://johnmayhk.wordpress.com/2012/05/01/boring-talik-about-general-term/

其表達式可以是

$T_n=\frac{1}{3}((1+2\cos(120^o(n-1)))+2(1+2\cos(120^o(n+1)))+3(1+2\cos(120^on)))$

化簡得

$T_n=2+\frac{2}{3}(\cos 120^o(n-1)+2\cos120^o(n+1)+3\cos120^on)$ 　for $n=1,2,3,\dots$

現在試玩另一些函數的表達式。

考慮

$f(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 1 \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} x = rational\\0 \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} x = irrational\end{array}\right.$

如何用一條式表達 f(x) 呢？（修過實分折 (real analysis) 的學生應不會陌生，不過是 $f(x)=\chi_{\mathbb{Q}}(x)$ 而已。）

早前在教員室書櫃閒時閱讀到英國數學家哈代（Godfrey Harold Hardy）著的中學數學參考書：a course of pure mathematics，那是 1952 年的第 10 版（第 1 版是 1908 年的），見下：

在 P.169 的 Q.24 是類似問題，見

類似習題，我在中學時，於一本非常喜愛的微積分習作 Graded Exercises In Calculus for H.K. A-Level Examination (作者：C.S. Man) 上做過，及後在教純數時，在極限那課和學生談過。

首先是 signum function：

$sgn(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 1 \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} x > 0\\0 \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} x = 0\\-1 \hspace{8 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} x < 0\end{array}\right.$

原來可以用一條式

$sgn(x)=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2}{\pi}\tan^{-1}(nx)$

表達。

為何？用窮舉法，分別考慮

x > 0
x = 0
x < 0

三個情況。並且要知

$\displaystyle \lim_{y\rightarrow +\infty}\tan^{-1}y=\frac{\pi}{2}$ 及 $\displaystyle \lim_{y\rightarrow -\infty}\tan^{-1}y=-\frac{\pi}{2}$

便可。

現在考慮

$sgn(\sin^2(m!\pi x))$

當是有理數，設 $x=\frac{p}{q}$ ，只要有足夠大的，比如 m > q ，那麼 $\sin^2(m!\pi x)=0$ ，即

$y=\displaystyle \lim_{m\rightarrow +\infty}sgn(\sin^2(m!\pi x))=0$

當是無理數， $\sin^2(m!\pi x) > 0$ ，那麼 $sgn(\sin^2(m!\pi x))=1$ ，即

$y=\displaystyle \lim_{m\rightarrow +\infty}sgn(\sin^2(m!\pi x))=1$

即完成 Q.24 的上半部份。

那麼，要表達

$f(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 1 \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} x = rational\\0 \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} x = irrational\end{array}\right.$

只要寫

$f(x)=1-\displaystyle \lim_{m\rightarrow +\infty}sgn(\sin^2(m!\pi x))$

便可。

更一般地，若

$g(x) = \left \{ \begin{array}{ll} a \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} x = rational\\b \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} x = irrational\end{array}\right.$

只要寫

$g(x)=a+(b-a)\displaystyle \lim_{m\rightarrow +\infty}sgn(\sin^2(m!\pi x))$

就是了。

好了，Q.24 的下半部份，考慮

$\displaystyle \lim_{m\rightarrow \infty}(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}(\cos(m!\pi x))^{2n})$

和剛才一樣，

當是有理數，設 $x=\frac{p}{q}$ ，只要有足夠大的，比如 m > q ，那麼

$(\cos(m!\pi x))^2=1\Rightarrow (\cos(m!\pi x))^{2n}=1$

即

$\displaystyle \lim_{m\rightarrow \infty}(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}(\cos(m!\pi x))^{2n})=1$

當是無理數， m!x 也必是無理數，故 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}(\cos(m!\pi x))^{2n}=0$

即

$\displaystyle \lim_{m\rightarrow \infty}(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}(\cos(m!\pi x))^{2n})=0$

故完成了 Q.24 的下半部。

其實把表達式寫成一條過的式子真的重要嗎？因題而異，「一式過」的好處起碼是「不用分 cases」吧。

比如當年做到我想喊的一道題：

(a) Show that if $k\le x < k+1$ ，（ $k=0,1,2,\dots$ ）， $\int [x]|\sin \pi x|dx=(-1)^{[x]+1}\frac{[x]}{\pi}\cos \pi x+C_k$

(b) Let $F(x)=(-1)^{[x]+1}\frac{[x]}{\pi}\cos \pi x+C_k, k \le x < k+1$ （ $k=0,1,2,\dots$ ）be a continuous function for all $x\ge 0$ , show that $C_k=\frac{1}{\pi}(2k-1)+C_{k-1}$ .