合24

學期初，同事已病，我代課。剛開學的中二學生，玩甚麼好？不如玩小學生也懂的遠古算術遊戲：合 24。

用一堂弄幾題所謂難題，去上堂，當中包括：

{3,3,7,7}

（即把上述數字各用一次，配以四則運算，得出答案 24。）

未玩過的可以試試。

遊戲樂趣在乎玩，若把遊戲用之以研究數學，對很多人來說實屬煮鶴焚琴，但對數學人卻是很自然：

比如，把 4 個數字的運算形式窮盡，得出所有可能解，那麼每次玩合 24，一檢查便知可否。

估計晨早有人做了吧？我現只舉一種運算形式，欲窮之。

上例：{3,3,7,7} 的解是

$7(3+\frac{3}{7})=24$

一般地，考慮 4 個不大於 10 的正整數：{ a,b,c,d }，其運算形式如下：

$a(b+\frac{c}{d})=24$

要上式有解，起碼要 $\frac{ac}{d}$ 是正整數。

如果，被整除，對於合 24 來說，情況是較易；如果不被整除，情況很可能較難（比如上面 {3,3,7,7} 的情況）。

於是，我先處理可被整除的情況。

情況 1： a=d ，即要求 $ab+c=24\Rightarrow ab=24-c$

當 c=1 ， ab=23 （不能）
當 c=2 ， ab=22 （不能）
當 c=3 ， $ab=21\Rightarrow ab=3\times 7$ ，即有

$3(7+\frac{3}{3})=24$ 或
$7(3+\frac{3}{7})=24$

即是已出了兩題：

{3,3,3,7} （易）和
{3,3,7,7} （難）了。

繼續…

當 c=4 ， $ab=20\Rightarrow ab=2\times 10$ or $4\times 5$ ，即有

$2(10+\frac{4}{2})=24$ 得 {2,2,4,10}
$10(2+\frac{4}{10})=24$ 得 {2,4,10,10}（難）
$4(5+\frac{4}{4})=24$ 得 {4,4,4,5}
$5(4+\frac{4}{5})=24$ 得 {4,4,5,5}

當 c=5 ， ab=19 （不能）
當 c=6 ， $ab=18\Rightarrow ab=2\times 9$ or $3\times 6$ ，即有

$2(9+\frac{6}{2})=24$ 得 {2,2,6,9}
$9(2+\frac{6}{9})=24$ 得 {2,6,9,9}（難）
$3(6+\frac{6}{3})=24$ 得 {3,3,6,6}
$6(3+\frac{6}{6})=24$ 得 {3,6,6,6}

當 c=7 ， ab=17 （不能）
當 c=8 ， $ab=16\Rightarrow ab=2\times 8$ or $4\times 4$ ，即有

$2(8+\frac{8}{2})=24$ 得 {2,2,8,8}
$8(2+\frac{8}{8})=24$ 得 {2,8,8,8}
$4(4+\frac{8}{4})=24$ 得 {4,4,4,8}

當 c=9 ， $ab=15\Rightarrow ab=3\times 5$ ，即有

$3(5+\frac{9}{3})=24$ 得 {3,3,5,9}
$5(3+\frac{9}{5})=24$ 得 {3,5,5,9}（難）

當 c=10 ， $ab=14\Rightarrow ab=2\times 7$ ，即有

$2(7+\frac{10}{2})=24$ 得 {2,2,7,10}
$7(2+\frac{10}{7})=24$ 得 {2,7,7,10}（難）

完了，已經出了 17 題。

但當中有些是很簡單，比如 $5(4+\frac{4}{5})=24$ ，雖然 $\frac{4}{5}$ 不是整數，但這一點也不難，因為多數以 $5\times 5-\frac{4}{4}=24$ 算之，所以要籂選一下才給學生玩。

情況 2： a=2d ，即要求 $2bd+2c=24\Rightarrow bd=12-c$

當 c=2 ， $bd=10\Rightarrow bd=1\times 10$ or $2\times 5$ ，即有

$2(10+\frac{2}{1})=24$ 得 {1,2,2,10}
$10(2+\frac{2}{5})=24$ 得 {2,2,5,10}（難）
$4(5+\frac{2}{2})=24$ 得 {2,2,4,5}

當 c=3 ， $bd=9\Rightarrow bd=1\times 9$ or $3\times 3$ ，即有

$2(9+\frac{3}{1})=24$ 得 {1,2,3,9}
$6(3+\frac{3}{3})=24$ 得 {3,3,3,6}

當 c=4 ， $bd=8\Rightarrow bd=1\times 8$ or $2\times 4$ ，即有

$2(8+\frac{4}{1})=24$ 得 {1,2,4,8}
$4(4+\frac{4}{2})=24$ 得 {2,4,4,4}
$8(2+\frac{4}{4})=24$ 得 {2,4,4,8}

當 c=5 ， $bd=7\Rightarrow bd=1\times 7$ ，即有

$2(7+\frac{5}{1})=24$ 得 {1,2,5,7}

當 c=6 ， $bd=6\Rightarrow bd=1\times 6$ or $2\times 3$ ，即有

$2(6+\frac{6}{1})=24$ 得 {1,2,6,6}
$4(3+\frac{6}{2})=24$ 得 {2,3,4,6}
$6(2+\frac{6}{3})=24$ 得 {2,3,6,6}

當 c=7 ， $bd=5\Rightarrow bd=1\times 5$ ，即有

$2(5+\frac{7}{1})=24$ 得 {1,2,5,7}
$10(1+\frac{7}{5})=24$ 得 {1,5,7,10}（難）

當 c=8 ， $bd=4\Rightarrow bd=1\times 4$ or $2\times 2$ ，即有

$2(4+\frac{8}{1})=24$ 得 {1,2,4,8}
$8(1+\frac{8}{4})=24$ 得 {1,4,8,8}
$4(2+\frac{8}{2})=24$ 得 {2,2,4,8}

當 c=9 ， $bd=3\Rightarrow bd=1\times 3$ ，即有

$2(3+\frac{9}{1})=24$ 得 {1,2,3,9}
$6(1+\frac{9}{3})=24$ 得 {1,3,6,9}

當 c=10 ， $bd=2\Rightarrow bd=1\times 2$ ，即有

$2(2+\frac{10}{1})=24$ 得 {1,2,2,10}
$4(1+\frac{10}{2})=24$ 得 {1,2,4,10}

完了，共出了 38 題。但當中有重覆，比如 {1,2,4,8}；也有比較滿意的，例如 {1,5,7,10}，可以入選。

情況 3： a=3d ，即要求 $3bd+3c=24\Rightarrow bd=8-c$

當 c=1 ， $bd=7\Rightarrow bd=1\times 7$ ，即有

$3(7+\frac{1}{1})=24$ 得 {1,1,3,7}

當 c=2 ， $bd=6\Rightarrow bd=1\times 6$ or $2\times 3$ ，即有

$3(6+\frac{2}{1})=24$ 得 {1,2,3,6}
$6(3+\frac{2}{2})=24$ 得 {2,2,3,6}
$9(2+\frac{2}{3})=24$ 得 {2,2,3,9}

當 c=3 ， $bd=5\Rightarrow bd=1\times 5$ ，即有

$3(5+\frac{3}{1})=24$ 得 {1,3,3,5}

當 c=4 ， $bd=4\Rightarrow bd=1\times 4$ or $2\times 2$ ，即有

$3(4+\frac{4}{1})=24$ 得 {1,3,4,4}
$6(2+\frac{4}{2})=24$ 得 {2,2,4,6}

當 c=5 ， $bd=3\Rightarrow bd=1\times 3$ ，即有

$3(3+\frac{5}{1})=24$ 得 {1,3,3,5}
$9(1+\frac{5}{3})=24$ 得 {1,3,5,9}（難）

當 c=6 ， $bd=2\Rightarrow bd=1\times 2$ ，即有

$3(2+\frac{6}{1})=24$ 得 {1,2,3,6}
$6(1+\frac{6}{2})=24$ 得 {1,2,6,6}

當 c=7 ， $bd=1\Rightarrow bd=1\times 1$ ，即有

$3(1+\frac{7}{1})=24$ 得 {1,1,3,7}

完了，又做多一些題，當中出現比較滿意的 {1,3,5,9}。

情況 4： a=4d ，即要求 $4bd+4c=24\Rightarrow bd=6-c$

當 c=1 ， $bd=5\Rightarrow bd=1\times 5$ ，即有

$4(5+\frac{1}{1})=24$ 得 {1,1,4,5}

當 c=2 ， $bd=4\Rightarrow bd=1\times 4$ or $2\times 2$ ，即有

$4(4+\frac{2}{1})=24$ 得 {1,2,4,4}
$8(2+\frac{2}{2})=24$ 得 {2,2,2,8}

當 c=3 ， $bd=3\Rightarrow bd=1\times 3$ ，即有

$4(3+\frac{3}{1})=24$ 得 {1,3,3,4}

當 c=4 ， $bd=2\Rightarrow bd=1\times 2$ ，即有

$4(2+\frac{4}{1})=24$ 得 {1,2,4,4}

當 c=5 ， $bd=1\Rightarrow bd=1\times 1$ ，即有

$4(1+\frac{5}{1})=24$ 得 {1,1,4,5}

情況 5： a=6d ，即要求 $6bd+6c=24\Rightarrow bd=4-c$

當 c=1 ， $bd=3\Rightarrow bd=1\times 3$ ，即有

$6(3+\frac{1}{1})=24$ 得 {1,1,3,6}

當 c=2 ， $bd=2\Rightarrow bd=1\times 2$ ，即有

$6(2+\frac{2}{1})=24$ 得 {1,2,2,6}

當 c=3 ， $bd=1\Rightarrow bd=1\times 1$ ，即有

$6(1+\frac{3}{1})=24$ 得 {1,1,3,6}

情況 6： a=8d ，即要求 $8bd+8c=24\Rightarrow bd=3-c$

當 c=1 ， $bd=2\Rightarrow bd=1\times 2$ ，即有

$8(2+\frac{1}{1})=24$ 得 {1,1,2,8}

當 c=2 ， $bd=1\Rightarrow bd=1\times 1$ ，即有

$8(1+\frac{2}{1})=24$ 得 {1,1,2,8}

好了，如果 $\frac{ac}{d}$ 是正整數，但和也不能被整除又如何？

比如

情形 1： $\frac{2\times 2}{4}$ ，即 ab + 1=24 （不能）

情形 2： $\frac{3\times 3}{9}$ ，即 ab + 1=24 （不能）

情形 3： $\frac{3\times 6}{9}$ ，即 ab + 2=24 （不能）

應該完成吧？

類似地，可以考慮以下運算形式：

$a(b-\frac{c}{d})=24$

甚或

$a\div (b\pm \frac{c}{d})=24$

之類。朋友，有冇興趣創作一些較難的合 24 題，幫我下次代課時可以和學生玩玩？當然，若懂編寫電腦程式，就不會像我徒手做數，浪費光陰。

合24

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