sum of 1/k^2 from 1 to infinity

非正式地所謂證明 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$ 。
…………………………………………….

首先要知，下式的根之總和（sum of roots）

$ax^n+bx^{n-1}+\dots +cx+d=0$ ………. (*)

是 $-\frac{b}{a}$ 。

把 (*) 除以 x^n ，得

$a+b(\frac{1}{x})+\dots +c(\frac{1}{x})^{n-1}+d(\frac{1}{x})^n=0$

命 $y=\frac{1}{x}$ ，得

$dy^n+cy^{n-1}+\dots +by+a=0$

並知上式的根，就是 (*) 的根之倒數（reciprocal）。

所以 (*) 的根之倒數的總和（sum of reciprocal of roots）

就是 $-\frac{c}{d}$ 。

…………………………………………….

好了，「偽證明」開始。

因為

$\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots$

所以

$\sin(\sqrt{x})=\sqrt{x}-\frac{x\sqrt{x}}{3!}+\frac{x^2\sqrt{x}}{5!}-\dots$

$\Rightarrow \frac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}=1-\frac{x}{3!}+\frac{x^2}{5!}-...$

現在是「夾硬來」：把上式的右邊視為「無限大 degree 的多項式」。

故上式右邊的根之倒數總和（sum of reciprocal of roots）是

$-\frac{-1/3!}{1}=\frac{1}{6}$

而上式左邊的根是 $k^2\pi^2$ （其中是正整數），故上式左邊的根之倒數總和是

$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2\pi^2}$

於是有

$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2\pi^2}=\frac{1}{6}$

即

$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$

sum of 1/k^2 from 1 to infinity

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