無聊兩題

1. 初中

參考下圖

johnmayhk-congruce-ass

已知： $\angle C=\angle D$ ， AC=AD

問： $\Delta ABC \cong \Delta ABD$ 嗎？

如果同學寫：

$\angle C=\angle D$ 　（given）
AC=AD 　（given）
AB=AB 　（common sides）

結論是

$\Delta ABC \cong \Delta ABD$ 　（ASS）

那理由不能支持結論。

那麼 $\Delta ABC \cong \Delta ABD$ 嗎？

johnmayhk-congruce-ass

找輔助線幫手，連 CD。得

$\Delta ACD$ 是等腰，從而

$\angle ACD=\angle ADC$ ，又因已知

$\angle ACB=\angle ADB$ ，故

$\angle BCD=\angle BDC$ ，從而

BC=BD 　（sides opp. = ∠s），於是

$\Delta ABC \cong \Delta ABD$ 　（SSS）

（習題：若上例， $\angle C=\angle D$ 是銳角，那麼 $\Delta ABC \cong \Delta ABD$ 嗎？）

正所謂

＂Don’t try to prove congruence with the ASS theorem or you will make an ASS out of yourself.＂

（資料來源：http://mathworld.wolfram.com/ASSTheorem.html）

所以同學小心。

滿足對應的 “ASS" 相等，則該兩個三角形可能全等，亦可能不全等。

假設兩個三角形，有大小相同的 $\angle A$ ，對應長度相等的及。（即所謂 ASS 也）

情況一：是銳角

johnmayhk-congruce-ass1

以 AC 為底，則高度是 $c\sin A$ ，於是

若 $a=c\sin A$ ，則兩個三角形全等（這時，是直角。）；
若 $a > c\sin A$ ，則兩個三角形未必全等，見：

johnmayhk-congruce-ass1 　 johnmayhk-congruce-ass3

情況二：是鈍角

johnmayhk-congruce-ass2

必有 a > c ，且兩個三角形全等。

證明很重要，有些事情不能單憑肉眼判斷，比如以下四個形狀，有一個不一定是平行四邊形：

johnmayhk-parallelogram

同學，＂看＂到嗎？

2. 高中

課程內證明四點共圓（concyclic）方法有三：

a. 對角和是 180（opp. ∠s supp.）
b. 外角等於內錯角（ext. ∠ = int. opp. ∠）
c. 同弓形內的圓周角之逆定理（converse of ∠s in same segment）

有沒有其他？有，例如考慮比例。

平面上有四點 A,B,C,D；要它們共圓，起碼要 ABCD 是凸多邊形（為何？），那麼對角線段必然相交。設交點為 E。

若 $\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE}$ ，則 A,B,C,D 共圓。

證明：考慮經過 A,B,C 的圓，交 BD 於 D’，見

johnmayhk-concyclic1

易知 $\Delta AED' \sim \Delta BEC$ ，故 $\frac{AE}{D'E}=\frac{BE}{CE}$ 。

但已知 $\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE}$ ，則 D 和 D’ 重合；亦即 A,B,C,D 共圓。

另外，有關證明切線（tangent），我們也可考慮比例。

johnmayhk-tangent

如上圖，若 AD 切圓 BCD 於 D；AC 交圓於 B。

易知 $\Delta ABD \sim \Delta ACD$ ，故 $\frac{AB}{AD}=\frac{AD}{AC}$ ，即 $AD^2=AB\cdot AC$ 。

逆向地，已知線段 ABC 及 AD 滿足 $AD^2=AB\cdot AC$ ，則 AD 切圓 BCD 於 D。

證明：若 AD 另交圓 BCD 於 D’，

情況一，D’ 在線段 AD 內，知 $\Delta ABD \sim \Delta AD'C$ 。

johnmayhk-tangent1

情況二，D’ 在線段 AD 外，知 $\Delta ABD' \sim \Delta ADC$ 。

johnmayhk-tangent3

兩個情況皆能導出 $AD'\cdot AD=AB\cdot AC$ 。

已知 $AD^2=AB\cdot AC$ ，即 AD'=AD ，亦即 D’ 與 D 重合，所以 AD 切圓 BCD 於 D。

早前考過學生一道題：畫 3 個正方形
johnmayhk-3squares1
藍色和黑色對角線相交，連頂點得紅線，見下。問：紅藍線互相垂直嗎？
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加上字母，即是問：BK ⊥ DF 嗎？
johnmayhk-3squares3
同學，先試試吧～

由於 $BD^2=BE\cdot BF$ ，
johnmayhk-3squares4
得切圓 DEF 於，
johnmayhk-3squares5
可以運用有關切線的定理，比如在相對弓形的圓周角（angle in alternate segment）。連 DE，
johnmayhk-3squares6
於是有 $\angle BDE=\angle DFE$
johnmayhk-3squares7
於是 $\angle BDK=\angle BDE+\angle EDF=\angle DFE+\angle EDF=\angle DEA$
johnmayhk-3squares8
不難看出 $\angle DEA=\angle BAK$
johnmayhk-3squares9
所以 $\angle BDK=\angle BAK$ ，亦即 B,A,D,K 共點，於是 $\angle DKB=180^o-\angle DAB=90^o$ ，故 BK ⊥ DF。