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兩數相等

September 23, 2015, 2:43 am

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閒時證明吓 1=2 之類的東西，學生可能會醒一醒。

比如教配方法時，可以問問學生喜歡哪兩個數？例如 8 和 9，那麼我們就可以「證明」：8 等於 9，如下：

$8\times 9=9\times 8$

$\Rightarrow 8\times (17-8)=9\times (17-9)$

$\Rightarrow 8\times 17-8^2=9\times 17-9^2$

$\Rightarrow 8^2-8\times 17=9^2-9\times 17$

$\Rightarrow 8^2-8\times 17+(\frac{17}{2})^2=9^2-9\times 17+(\frac{17}{2})^2$

（配方法了）

$\Rightarrow (8-\frac{17}{2})^2=(9-\frac{17}{2})^2$

$\Rightarrow 8-\frac{17}{2}=9-\frac{17}{2}$

$\Rightarrow 8=9$

又例如教 M1, M2，講到 (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 時，又可以扮哂嘢地話可以「證明」：任何兩個數都相等，見下：

隨便考慮及。

設

a=x-y
b=(x+y)^2
c=4(x^2-xy+y^2)

計算

$(a+\sqrt{b-c})^3$

$=a^3+3a^2\sqrt{b-c}+3a(b-c)+(b-c)\sqrt{b-c}$

$=a^3+3a(b-c)+(3a^2+b-c)\sqrt{b-c}$

現在計算當中的

3a^2+b-c

=3(x-y)^2+(x+y)^2-4(x^2-xy+y^2)

=3x^2-6xy+3y^2+x^2+2xy+y^2-4x^2+4xy-4y^2

於是

$(a+\sqrt{b-c})^3=a^3+3a(b-c)$ 　………………. (1)

同理，考慮

$(a-\sqrt{b-c})^3$

$=a^3-3a^2\sqrt{b-c}+3a(b-c)-(b-c)\sqrt{b-c}$

$=a^3+3a(b-c)-(3a^2+b-c)\sqrt{b-c}$

=a^3+3a(b-c) 　（因 3a^2+b-c=0 ）

即

$(a-\sqrt{b-c})^3=a^3+3a(b-c)$ 　………………. (2)

由 (1) 及 (2) 得

$(a+\sqrt{b-c})^3=(a-\sqrt{b-c})^3$

即

$a+\sqrt{b-c}=a-\sqrt{b-c}$

$\Rightarrow \sqrt{b-c}=-\sqrt{b-c}$

$\Rightarrow 2\sqrt{b-c}=0$

$\Rightarrow b-c=0$

$\Rightarrow (x+y)^2-4(x^2-xy+y^2)=0$

$\Rightarrow x^2+2xy+y^2-4x^2+4xy-4y^2=0$

$\Rightarrow -3x^2+6xy-3y^2=0$

$\Rightarrow -3(x^2-2xy+y^2)=0$

$\Rightarrow -3(x-y)^2=0$

$\Rightarrow x-y=0$

$\Rightarrow x=y$

即是隨便兩個數都可以相等了。

當學生睡醒，有時間就解惑，冇時間就授業。就這樣。

Also read

https://johnmayhk.wordpress.com/2010/12/15/not-equal/

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