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二次和是和

October 15, 2015, 2:43 am

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觀察

1^2+1^2=1+1

1.2^2+0.6^2=1.2+0.6

1.2^2+0.4^2=1.2+0.4

…

還有沒有其他例子，滿足以下關係？

x^2+y^2=x+y ……………… (*)

學過圓方程的同學，應該知道 (*) 正是圓方程，所以在該圓（周）上的點，皆滿足 (*)。

換言之，有無限個實數組 (a,b) 滿足 (*)

隨便代入，比方說 y=0.3 ，(*) 變成

x^2+0.3^2=x+0.3

$\Rightarrow x^2-x-0.21=0$

$\Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{1.84}}{2}$

所以有

$(\frac{1\pm \sqrt{1.84}}{2})^2+0.3^2=\frac{1\pm \sqrt{1.84}}{2}+0.3$

這似乎沒有本文最初幾個例子美觀，於是自然問：還有沒有其他有理數解 (a,b) ？

有，大家檢查一下：

$(\frac{1+m}{1+m^2})^2+(\frac{m+m^2}{1+m^2})^2=(\frac{1+m}{1+m^2})+(\frac{m+m^2}{1+m^2})$ ………. (#)

只要在 (#) 中隨便代入有理數，比如 m=3 ，得

$(\frac{1+3}{1+9})^2+(\frac{3+9}{1+9})^2=(\frac{1+3}{1+9})+(\frac{3+9}{1+9})$

即

0.4^2+1.2^2=0.4+1.2

如何得 (#)？容易，想一想幾何圖像便是。

圖中，圓上任何一點皆滿足 (*)，考慮以直線 y=mx 交之，解交點曰

x^2+(mx)^2=x+mx

$\Rightarrow x=\frac{1+m}{1+m^2}$ or x=0

即

$(\frac{1+m}{1+m^2},m\frac{1+m}{1+m^2})=(\frac{1+m}{1+m^2},\frac{m+m^2}{1+m^2})$ 必能滿足 (*)

亦即 (*) 有無限個有理數解。

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