1.一個玩具
早前入了些貨，其中一件：
正四面體困在籠中，
硬闖不能：
如何逃脫？其實唔難。想想：正方體的某四角相連，可生成正四面體（regular tetrahedron）見下：
點擊以下連結動動它吧：
http://tube.geogebra.org/m/1790351
可見，設正方體邊長 1 單位，正四面體的邊長就是 
2.一道習題
碰巧又是教立體三角的時間，我隨便給舊題學生做：
所謂證明甲烷（Methane，化學式為 
https://en.wikipedia.org/wiki/Methane
（若有 lone pair electrons 之類，唔識計，聞說要靠電腦模擬～）
如何計出 
看不清楚，又點擊以下連結動動它吧：
http://tube.geogebra.org/m/1796029
由對稱性，想像正面看正四面體任何一個三角面，炭原子都在「中心」（形心）。
現在想像圍著那正四面的正方體，由對稱性，我們看某個氫原子（即正方體的角），在某個位置可以看到，那「中心」也是正六邊形的中心，見：
那麼，炭原子必在正方體的對角線上，即「中心」是正方體對角線的交點，見：
於是，C-H 鍵也在對角線上，故鍵角就是（比方說）長方形 CDEF 的對角線夾角（鈍角），
而該長方形的長闊比是 
除了上法，起碼還有兩個方法得到鍵角：
1) 利用三維向量的內積，比如設氫原子分別在 (0,0,0), (1,1,0), (0,1,1) 及 (1,0,1)；則炭原子在 (0.5,0.5,0.5) 之處。
2) 把正四面體，沿 C-H 切開成 4 個全等的四面體，考慮該 4 個四面積積積總和就是原來的正四面體體積之類。
3.主要問題
Core Math 立體三角會問到兩面夾角，比如：正四面體的鄰面夾角大小。
參下圖，設 K 為 DE 的中點，則正四面體的鄰面夾角是 
不難得出是 
剛好是
讓我再多加一個全等的正方體在旁，見下。
因 K 是垂直正方形的中心，則 K, B 和（B 的對角）O 共線；G, K, L 也共線。故正四面體的鄰面夾角，就是長方形 GBLO 的夾角（銳角）。
好了，還記得鍵角就是（比方說）長方形 CDEF 的對角線夾角（鈍角）嗎？見下：
現在只要知：長方形 GBLO 和 CDEF 是相似的，因為它們長闊比皆是
又點擊以下連結動動它吧：
http://tube.geogebra.org/m/1798661
4.兩個順便
再補多句數學通識，以正方形為底的四角錐體（right pyramid with square base）：
若側棱和底邊等長，則其相鄰兩面夾角又是
順便多談一下。M2 同學知
那麼
現在證明這是不能的。
M2 同學懂得：
即
依次代入
…
於是，不難看出 
即
其中 
…
可見 
（注1：同學可以 M.I.，或考慮 
（注2：上面的
好了，現在用反證，假設 
於是
換言之，
即 
但這是矛盾的，皆因前文推論過：
換言之，
其實
5.兩個ＯＴ
(OT1) 偶看某 dse core math 練習書，真係夠膽死當 mc 問：
Find the angle between two adjacent lateral faces of a regular dodecahedron.
A.117°
B.118°
C.119°
D.120°
雖然把 long question 變 mc 來出題見唔少，但咁樣玩，意義在哪（比如這是沒有 detractors 的 mc）？下次玩正二十面體體積囉，咁樣樣。
(OT2) 早前同學介紹我看以下片段，當中的立體的一些夾角，似乎也有研究的樂趣：
