證 Cramer’s rule

聽聞代課想向 M2 學生證明 Cramer’s rule，見他手執 n by n 的線性代數材料，並稱內容頗抽象云云，我沒說甚麼。

其實教純數時也略談，技巧不過是在不同的等式，刻意乘上 cofactors 再相加，以致產生 coefficient matrix 的 determinant 云云。

但對 M2 學生來說，估計不是太易，這裡試用 inverse matrix 來解釋，希望明啦～

因為是 M2，考慮 3 by 3 方程組已足夠，見下

設所謂 coefficient matrix 為

如果 存在，那麼

………. (1)

另外，由於

所以有

………. (2)

………. (3)

由 (1), (2) 及 (3)，得

找其行列式，即

故此

同理，得

及

同學，自行證明吧。