正多邊形方程

初中學過極座標（polar coordinates），但只限於描述點之位置。至於描述圖像之方程，到高中，課程也只利用 xy-plane，諸如方程 y=x^2 是描述二次圖像云云。其實極座標系統也可描述圖像的方程，只是如此知識早已湮沒在舊課程內。

所謂極座標，即是說，任何一點，其座標為 $P(r,\theta)$ ，其中即和極的距離， $\theta$ 就是的旋轉角（angle of rotation），亦即由所謂正 x-軸量度至的角度（逆時針者取正，順時針取負）。

所謂利用極座標系統描述圖像方程，即是說，設圖形上任意一點為 $P(r,\theta)$ ，若找出關係式 $r=r(\theta)$ ，則該圖像之方程就是 $r=r(\theta)$ 。

利用極座標系統描述圖像方程，方程有時是很簡潔的。以下看到，利用一條式便可描繪出正多邊形的圖像：

https://www.desmos.com/calculator/vv7stc4nl0

如上圖所示，單位圓外接正 n 邊形的方程是

$\displaystyle r=\frac{1}{\cos(\frac{2}{n}\sin^{-1}(\sin(\frac{n}{2}\theta)))}$

現解釋為何上式可描繪出單位圓外接正 n 邊形之圖像。讓我以正五邊形為例。

上圖題示，紅點的軌跡是正五邊形，留意旋轉角 $\theta$ 由 0∘ 改變到 360∘，紅點和 O 的距離（）不斷改變，即 $r=r(\theta)$ 。且由形狀之對稱，感覺到 $r=r(\theta)$ 應是周期函數。

詳細一些：

設 M,N,Q,R,S 分別為線段 AB,BC,CD.DE,EA 的中點。 r=OP 。

P 由 S 至 A， $\theta$ 由 0∘ 至 36∘，則 $r=\displaystyle\frac{1}{\cos\theta}$

P 由 A 至 M， $\theta$ 由 36∘ 至 72∘，則 $r=\displaystyle\frac{1}{\cos(72^o-\theta)}$

P 由 M 至 B， $\theta$ 由 72∘ 至 108∘，則 $r=\displaystyle\frac{1}{\cos(\theta-72^o)}$

諸如此類。但上述三式各異，如何統一它們？考慮 $\phi$ 為和最接近的虛線的夾角，則無論 P 在哪方，皆有

$r=\displaystyle\frac{1}{\cos\phi}$

下一步就是找 $\phi$ 和 $\theta$ 之關係。（為美觀，角度轉用弧度量度）不難得出

當 $\displaystyle 0\le \theta \le \frac{\pi}{5}$ ，則 $\phi=\theta$ ；

當 $\displaystyle \frac{\pi}{5}\le \theta \le \frac{2\pi}{5}$ ，則 $\phi=\frac{2\pi}{5}-\theta$ ；

當 $\displaystyle \frac{2\pi}{5}\le \theta \le \frac{3\pi}{5}$ ，則 $\phi=\theta-\frac{2\pi}{5}$ ；

當 $\displaystyle \frac{3\pi}{5}\le \theta \le \frac{4\pi}{5}$ ，則 $\phi=\frac{4\pi}{5}-\theta$ ；

當 $\displaystyle \frac{4\pi}{5}\le \theta \le \frac{5\pi}{5}$ ，則 $\phi=\theta-\frac{4\pi}{5}$ ；

諸如此類。以圖表之：

由於 $\cos(-\phi) \equiv \cos\phi$ ，故考慮以下 $\phi$ 和 $\theta$ 的關係，無損原式 $r=\displaystyle\frac{1}{\cos\phi}$

這圖像，性質有點像 sine wave（周期變化，值域是正負某個數之類）。然而，它是直線段而成，且輸入角度，輸出的不是正弦比，而是另一個角度。

那麼，如果考慮 $\sin^{-1}(\sin(x))$ 之類，不就是周期變化，且輸入角度，輸出角度的模式嗎？

先了解一下反正弦函數的東西。

$\sin^{-1}(\sin(x))\equiv x$ 嗎？

不一定。一般情況，反正弦函數 $y=\sin^{-1}(k)$ 的值域定為 $-\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}$ ，於是，比方說 $\sin^{-1}(\sin(\pi))\ne \pi$ 而是 0。

其實，對於任意角度 $\alpha$ ， $\sin^{-1}(\sin(\alpha))= \beta$ ，其中 $\beta$ 規限在介乎 $-\frac{\pi}{2}$ 及 $\frac{\pi}{2}$ 之間，見下圖：

略作分析，易知

當 $\displaystyle -\frac{\pi}{2}\le x \le \frac{\pi}{2}$ ，則 $\sin^{-1}(\sin(x))=x$ ；

當 $\displaystyle \frac{\pi}{2}\le x \le \frac{3\pi}{2}$ ，則 $\sin^{-1}(\sin(x))=\pi-x$ ；

當 $\displaystyle \frac{3\pi}{2}\le x \le \frac{5\pi}{2}$ ，則 $\sin^{-1}(\sin(x))=x-2\pi$ ；

當 $\displaystyle \frac{5\pi}{2}\le x \le \frac{7\pi}{2}$ ，則 $\sin^{-1}(\sin(x))=3\pi-x$ ；

諸如此類。以圖表之：

看吧，這和之前希望得到的 $\phi$ – $\theta$ 圖極之相似：

設 $f(x)=\sin^{-1}(\sin(x))$ 。

現在運用高中數學有關圖像變換的知識，由 f(x) 變成 $f(\frac{5}{2}x)$ ，圖就沿 x-軸收縮成原先的 $\frac{2}{5}$ 倍。再由 $f(\frac{5}{2}x)$ 變成 $\frac{2}{5}f(\frac{5}{2}x)$ ，圖就沿 y-軸收縮成原先的 $\frac{2}{5}$ 倍。