度數弧度微積分

（免插聲明：本篇頗無聊，高手見諒）

請問

$\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x$ 　at　 x=0^o

是多少？

M2 學生應知

$\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

代入 x=0^o ，得

$\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos 0^o=1$

完。

但　 $\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ 　是基於考慮是以弧度（radian）量度下的產物，若題目的是以度數（degree）量度如何？

試用圖像想想，求「 $\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x$ 　at　 x=0^o 」就是求「 $y=\sin x$ 圖像於 x=0 處切線（tangent）的斜率」。

隨便用 desmos 繪畫 $y=\sin x$ 的圖像：

上圖的是以弧度量度，在 x=0 處的切線，目測似是斜角 45 度線，即斜率為 1 無誤。

然而當是以度數量度，繪之：

看似直線，但當然不是。在 x=0 處的切線，鈄率比 1 小很多，圖中見，當 x=20 ，值也未到 0.5；想像去到「遙遠」的，值才到達 1。

如此說，當是以度數量度，在 x=0^o 之處

$\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x\ne 1$

那麼鈄率多大？告訴你，大約

0.017432921…

其實，由 day 1 開始學習微積分，老師已說：所有涉及三角函數的運算，變量定以弧度量度，否則導引出來的式子頗麻煩云云。有多麻煩？正是同學疑問。

根據中學教科書， $\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ 這結果源自 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$ ；

又根據中學教科書， $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$ 這結果，源自考慮下圖中， $\Delta ABC$ ，扇形 ABC 及 $\Delta ABD$ 由小到大的面積關係

若以弧度量度，扇形 ABC 的面積是 $\displaystyle \frac{1}{2}\times 1^2\times x=\frac{x}{2}$

於是

$\displaystyle \frac{1}{2}\sin x < \frac{x}{2} < \frac{1}{2}\tan x$

得

$\displaystyle 1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$

由三文治原理得

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$

但若是以度數量度，扇形 ABC 的面積是 $\displaystyle \frac{x}{360}\times \pi\times 1^2=\frac{x\pi}{360}$

於是

$\displaystyle \frac{1}{2}\sin x < \frac{x\pi}{360} < \frac{1}{2}\tan x$

得

$\displaystyle \frac{180}{\pi} < \frac{x}{\sin x} < \frac{180}{\pi} \frac{1}{\cos x}$

由三文治原理得

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{\pi}{180}$

試以 EXCEL 算之，見下：

為了表示以度數量度，我們可以寫

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x^o}{x^o}$

或

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^o}\frac{\sin x}{x}$

甚或用

$\displaystyle Sin(x)$ 代表輸入的是以度數量度，比如

$\displaystyle Sin(90)=\sin(\frac{\pi}{2}\quad rad)=1$

於是

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^o}\frac{\sin x}{x}$

$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 0}\frac{Sin(x)}{x}$

$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin(\frac{\pi}{180}x\quad rad)}{x}$

$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin(\frac{\pi}{180}x\quad rad)}{\frac{\pi}{180}x}\times \frac{\pi}{180}$

$\displaystyle =1\times \frac{\pi}{180}$

$\displaystyle =\frac{\pi}{180}$

於是，當以度數量度，求 $\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x$ 即

$\displaystyle \frac{d}{dx} Sin(x)$

$\displaystyle =\frac{d}{dx} \sin(\frac{\pi}{180}x)$

$\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}(\sin\frac{\pi}{180}(x+h)-\sin\frac{\pi}{180}x)$

$\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2}{h}\sin(\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{180}(x+h-x))\cos(\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{180}(x+h+x))$

$\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2}{h}\sin\frac{\pi}{180}(\frac{h}{2})\cos\frac{\pi}{180}(x+\frac{h}{2})$

$\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin\frac{\pi}{180}(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}\cos\frac{\pi}{180}(x+\frac{h}{2})$

$\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{Sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}\lim_{h\rightarrow 0}\cos\frac{\pi}{180}(x+\frac{h}{2})$

$\displaystyle =\frac{\pi}{180}\cdot \cos\frac{\pi}{180}x$

$\displaystyle =\frac{\pi}{180}Cos(x)$

即是說，當以度數量度，恆有

$\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\frac{\pi}{180}\cos x$

於是，當 x=0^o ，代入上式，得

$\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\frac{\pi}{180}\cos 0^o=\frac{\pi}{180}$

用 chain rule 來推當然快些，曰

$\displaystyle \frac{d}{dx} Sin(x)=\frac{d}{dx} \sin\frac{\pi}{180} x=\cos\frac{\pi}{180} x\cdot (\frac{\pi}{180} x)'=\frac{\pi}{180}\cos\frac{\pi}{180} x=\frac{\pi}{180}Cos(x)$

進而

$\displaystyle \frac{d^n}{dx^n} Sin(x)=(\frac{\pi}{180})^n Sin(90n+x)$

進而求得其泰勒展式為

$\displaystyle Sin(x)=\frac{\pi}{180}x-\frac{(\frac{\pi}{180}x)^3}{3!}+\frac{(\frac{\pi}{180}x)^5}{5!}-\dots$

於是，比方說

$\displaystyle \sin1^o=Sin(1)=\frac{\pi}{180}-\frac{(\frac{\pi}{180})^3}{3!}+\frac{(\frac{\pi}{180})^5}{5!}-\dots$

諸如此類～

習題

(a) Is $\displaystyle \frac{d}{dx}(x\sin x)|_{x=\frac{\pi}{6}}=\displaystyle \frac{d}{dx}(xSin x)|_{x=30^o}$ ?

(b) Is $\displaystyle \frac{d}{dx}(x^2\tan x)|_{x=\frac{\pi}{4}}=\displaystyle \frac{d}{dx}(x^2Tan x)|_{x=45^o}$ ?

度數弧度微積分

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