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pi的連分表達式
把 寫成連分數（continued fraction），方式甚多，以下是其中一種： 可以變成 M2 習題如下： Define . (a) Show that . (b) Express in terms of n. Define . (c) Show that . (d) Prove that . (e) Hence, show that 做 (e) 提示：由 出發，瘋狂地運用 (d)，即 從略。...
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畫 y=x^(1/n)
不用計算機，如何比較 和 何值為大？ 其中一個方法是考慮 的圖像，見下 修 M1, M2 的同學，不用繪圖軟件，也知 的圖像大約何樣， 易知 for all ， 故圖像 strictly increasing（嚴格遞增）； 易知 故圖像在 處是 strictly concave downward 的， 所以，考慮固定的 ，當 值嚴格遞增， 對應 x-值區間 的 y-值區間 當中的 的值便會嚴格下降。...
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a question about inequality with derivatives
Question Let be a polynomial with real coefficients. Prove that if for any real , then for any real . Solution (elementary) where for any real Claim that for any real . Proof Suppose , by the condition...
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用積分證 0=-1
用 integration by parts 處理 如下 於是 如常地，這不過是不定積分的任意常數的問題。 考慮定積分，可能同學也會犯以下問題： 錯！不可忘記 ，即 also read the following old stuff https://johnmayhk.wordpress.com/2012/02/07/integration-by-parts/
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長周素
觀察一下： ，故循環周期（decimal period）為 6。 ，循環周期為 16。 ，循環周期為 18。 對於所有質數 ， 的循環周期都是 嗎？不是，例如 是 2。 有「 的循環周期是 」這性質的質數 稱為 long period primes，見以下連結： http://oeis.org/A006883 比方說，以除法算法計 ，若不理會小數點，不過是以下程序： 當中圈著的數字，其實是 除以 7...
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費氏講
N 年前往中一班代堂，必談「64 = 65」謎題： (圖片來源：https://i.stack.imgur.com/fWdMd.jpg) 對以上現象，小朋友給了不少有創意但錯誤的解釋，如「冷縮熱漲」。 所謂面積為 65 的長方形，在對角線處其實有個狹長的空心平行四邊形，其面積為 1 個單位，故 64 = 65 – 1 無誤。 面積只有 1 個單位的空心平行四邊形被拉得很長，難以察覺，便出現了「64...
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帕斯卡三角某結果
早前貼了下圖 本文談如何推出上述結果。 對於函數 ， 記 記 記 諸如此類。即 是 經由函數 的 次疊代（iterations）的結果。 若有兩個函數 及 ，它們之間存在一個變換 ，使 那麼，比方說把 經由 進行 次疊代，便有 圖像地： 粗略說， 和 分別進行疊代運算，結果可透過 彼此轉換。 曾談過有關 fractional linear function 的東西，本文也考慮它。 設 及 ，...
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某類三角恆等式記法
首先要知 之後，畫以下圖像： 好了，比如想知 是甚麼？只要從 出發，順時針轉 ，到達 位置： 即 又例如 是甚麼？只要從 出發，順時針轉 ，到達 位置： 即 又例如 是甚麼？ 即 只要從 出發，今次是逆時針轉 ，到達 位置： 即 至於 ，只要畫下圖 用法同上，從略。
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懷古-開方2
公元前 8 世紀，古印度數學家 Baudhayana 給出以下結果： 左邊約為 1.41421356237… 右邊計出 1.41421568627…，可見準確度達小數點後 5 位。 古人如何得出結果？ 有人以所謂幾何方法解之。考慮兩個面積皆為 1 的正方形： 想像把其中一個切出一些長方形，和另一正方形拼砌，希望做出面積為 2 的正方形。比如，先把右邊正方形平分 3 份： 把 2 個長方形拼砌如下：...
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What’s wrong?
Here is a basic level M2 question: Given that , find at (,). Student 1 gave Thus, at (,), Student 2 gave Thus, at (,), The answer obtained above is wrong. By using Desmos, the shape of the equation can...
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線長乘積
考慮單位圓內接正多邊形，比如正方形 由某點（比方說 A）出發，連起其他頂點，得出 3 條線段，其長度分別為 2, , ，故乘積（product）為 4。 對於五邊形 由某點出發連起其他頂點，得出 4 條線段，那麼線段長度的乘積如何？ 五邊形邊長為 而紅色對角線邊長 於是該 4 條段長度乘積為 美麗地，答案是 5。 那麼七邊形呢？ 由某點連起其他頂點，得出 6 條線段，告訴你，該 6...
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正弦積
初中同學，請問下式何值？ 因為 所以 冇難度。 但 呢？ 那就要進到 M2 課程。 M2 沒有包括三倍角公式（triple angle formula），如 但相信同學也在習題證明過上式，不過這裡我要用另一個三倍角公式： ………………….. (*) 即是說 再「補漏拾遺」： 把上面三十條式相乘，得 繼續運用 (*)， 初中知： M2 知： 然後，或有不同方式繼續，這裡用 ……………….. (#)...
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Similar-looking formula
The equivalent resistance of a parallel circuit can be determined by . A similar-looking formula found in a basic mathematics question involving parallel lines as shown below: . The length of the...
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Basic question of differentiation
HKDSE 2020 M2 Q.9 (b), a 2-mark question: Given , find . How fast can you finish this part and obtain the correct answer, especially when you are under the pressure during the public examination? 3...
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無聊談兩個不等式
自從和純數和附加數說再見後，大部分香港中學生只有解不等式，絕少接觸證明不等式成立的題目。 初中課程內仍有淺嚐三角形不等式的課題，即對於非退化（non-degenerate）三角形，邊長 者 恆有 ， 及 同學，利用 cosine law，我們輕易得出 又或考慮中線（median），長度為 ， 有 立即有 把 角色互換便有 和 順帶一提，如果角平分線（angle bisector）長度為 ，見下...
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