長周素

觀察一下：

，故循環周期（decimal period）為 6。

，循環周期為 16。

，循環周期為 18。

對於所有質數 ， 的循環周期都是 嗎？不是，例如 是 2。

有「 的循環周期是 」這性質的質數 稱為 long period primes，見以下連結：

http://oeis.org/A006883

比方說，以除法算法計 ，若不理會小數點，不過是以下程序：

當中圈著的數字，其實是 除以 7 的餘數，以同餘方式，依次序表達如下：

(mod 7)
(mod 7)
(mod 7)
(mod 7)
(mod 7)
(mod 7)

可見餘數包括所有小於 7 且和 7 互素的正整數 {1,2,3,4,5,6}，換言之，10 是 7 的原根（10 is a primitive root modulo 7）。

至於 11，由費馬小定理知 (mod 11)，然而 10 不是 11 的原根，因為

(mod 11)
(mod 11)

可見餘數只包括 10 和 1，沒有其他 {2,3,4,5,6,7,8,9}， 循環周期只是 2。

聞 2017 也是個 long period prime，同學有興趣檢查一下嗎？

存在無限個 long period primes 嗎？要高手答了。

習題（初中）

小明說找到正整數 n，使 的循環周期為 。你同意嗎？