費氏講

N 年前往中一班代堂，必談「64 = 65」謎題：

(圖片來源：https://i.stack.imgur.com/fWdMd.jpg)

對以上現象，小朋友給了不少有創意但錯誤的解釋，如「冷縮熱漲」。

所謂面積為 65 的長方形，在對角線處其實有個狹長的空心平行四邊形，其面積為 1 個單位，故 64 = 65 – 1 無誤。

面積只有 1 個單位的空心平行四邊形被拉得很長，難以察覺，便出現了「64 = 65」的假象。

如果不用（3,5,8）而是用（1,2,3）為有關邊長，該空心平行四邊形就較清楚題示，見下：

(圖片來源：https://i.stack.imgur.com/nWWOQ.png)

一般地考慮邊長為（ a,b,c ），即

設中空平行四邊形面積為 1 個單位，於是

(a+b)c+1=b(b+c)

$\Rightarrow b^2=ac+1$ …………………………. (*)

甚麼正整數數列 ( a,b,c ) 滿足 (*)？

除了「64 = 65」謎題的 (3,5,8) ，還有之後的例子（1,2,3）；當然還有無限多例子。

從（1,2,3）和（3,5,8），不難想到費波那契數列（Fibonacci sequence）:

F_1=1
F_2=1
F_3=F_2+F_1=2
F_4=F_3+F_2=3
F_5=F_4+F_3=5
F_6=F_5+F_4=8

… …

檢查一下：

可見不是所有費氏數列組成的（a,b,c）都滿足 (*)，比如（2,3,5），相關圖像見下：

可見，兩個紅色三角形重疊出那狹長的平行四邊形。

把上表改動如下：

這樣便自然地歸納出 1680 年發現的卡西尼公式（Cassini’s identity）

$F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^2=(-1)^n$

修 M2 的同學可以數學歸納法（mathematical induction）去確認上式，又或透過行列式（determinant）得出如下:

因

$\left(\begin{array}{rcl}F_{n-1} &F_n \\F_n &F_{n+1} \\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rcl}0 &1 \\1 &1 \\\end{array}\right)^n$

兩邊取行列式：

$F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^2=\det\left(\begin{array}{rcl}F_{n-1} &F_n \\F_n &F_{n+1} \\\end{array}\right)=\det\left(\begin{array}{rcl}0 &1 \\1 &1 \\\end{array}\right)^n=(\det\left(\begin{array}{rcl}0 &1 \\1 &1 \\\end{array}\right))^n=(-1)^n$

有關費波那契數列的特性繁多，早前見有人貼了下式，頗欣賞但不懂如何得之：

$\cot^{-1}F_{2n-2}=\cot^{-1}F_{2n-1}+\cot^{-1}F_{2n}$

其實不過是道中四 M2 習題，解之曰：

命

$\alpha=\cot^{-1}F_{2n-2}$
$\beta=\cot^{-1}F_{2n-1}$
$\gamma=\cot^{-1}F_{2n}$

即

$\cot\alpha=F_{2n-2}$
$\cot\beta=F_{2n-1}$
$\cot\gamma=F_{2n}$

或曰

$\tan\alpha=1/F_{2n-2}$
$\tan\beta=1/F_{2n-1}$
$\tan\gamma=1/F_{2n}$

考慮

$\displaystyle \tan(\beta+\gamma)=\frac{\tan\beta+\tan\gamma}{1-\tan\beta\tan\gamma}$

$\displaystyle =\frac{1/F_{2n-1}+1/F_{2n}}{1-1/(F_{2n-1}F_{2n})}$

$\displaystyle =\frac{F_{2n-1}+F_{2n}}{F_{2n-1}F_{2n}-1}$

$\displaystyle =\frac{F_{2n-1}+F_{2n}}{F_{2n-1}(F_{2n-1}+F_{2n-2})-1}$

$\displaystyle =\frac{F_{2n-1}+F_{2n}}{F_{2n-1}^2+F_{2n-1}F_{2n-2}-1}$

$\displaystyle =\frac{F_{2n-1}+F_{2n}}{F_{2n-2}F_{2n}+F_{2n-1}F_{2n-2}}$ 　　（這裡用了卡西尼公式）

$\displaystyle =\frac{1}{F_{2n-2}}$

$\displaystyle =\tan\alpha$

於是

$\alpha=\beta+\gamma$

即

$\cot^{-1}F_{2n-2}=\cot^{-1}F_{2n-1}+\cot^{-1}F_{2n}$

有了上式，可以弄一弄 $\pi$ 的表達式，見下

$\cot^{-1}F_2=\cot^{-1}F_3+\cot^{-1}F_4=\cot^{-1}F_3+\cot^{-1}F_5+\cot^{-1}F_6=\cot^{-1}F_3+\cot^{-1}F_5+\cot^{-1}F_7+\dots$

即

$\displaystyle \frac{4}{\pi}=\cot^{-1}2+\cot^{-1}5+\cot^{-1}13+\cot^{-1}34+\dots$

又或者用 $\tan^{-1}$ 來寫，即

$\displaystyle \pi=4\sum^\infty_{i=1}\tan^{-1}\frac{1}{F_{2i+1}}$

當然，人們一早找了更多有趣的結果，比如：

$\displaystyle \tan^{-1}\frac{1}{xF_{2n-1}+F_{2n}}=\tan^{-1}\frac{1}{xF_{2n-1}+F_{2n+1}}+\tan^{-1}\frac{1}{x^2F_{2n-1}+xF_{2n+2}+F_{2n+2}}$

後記

如果謎題沒有問題，即下圖中，左邊四塊真能正當地拼砌右邊長方形：

則

b^2=ac

高中同學，認出這關係嗎？就是說：（ a,b,c ）是等比數列（geometric sequence）

若保留上圖左邊為正方形，即 c=a+b ，則 a,b,c 不能全是整數，因為這情況下

$\displaystyle \frac{b}{a}$ 必然是黃金比（golden ratio），（中四同學試證之）這也和費氏數到有著連繫，即 $\displaystyle \frac{b}{a}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}$

還有更多有關費氏數列的東西，但此刻費事講了。

費氏講

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