正弦積

初中同學，請問下式何值？

$\tan 1^o\tan 2^o\tan 3^o\dots \tan 88^o\tan 89^o$

因為

$\tan \theta \tan (90^o-\theta) \equiv 1$

所以

$\tan 1^o\tan 2^o\tan 3^o\dots \tan 88^o\tan 89^o$
$=(\tan 1^o\tan 89^o)(\tan 2^o\tan 88^o)\dots (\tan 44^o\tan 46^o)\tan 45^o$
$=1\times 1\times \dots \times 1$

冇難度。

但

$\sin 1^o\sin 2^o\sin 3^o\dots \sin 88^o\sin 89^o$

呢？

那就要進到 M2 課程。

M2 沒有包括三倍角公式（triple angle formula），如

$\sin 3x \equiv 3\sin x-4\sin^3 x$

但相信同學也在習題證明過上式，不過這裡我要用另一個三倍角公式：

$\sin 3x \equiv 4\sin x\sin (60^o-x)\sin (60^o+x)$ ………………….. (*)

即是說

$\sin 1^o\sin 59^o\sin 61^o=\frac{1}{4}\sin 3^o$
$\sin 2^o\sin 58^o\sin 62^o=\frac{1}{4}\sin 6^o$
$\sin 3^o\sin 57^o\sin 63^o=\frac{1}{4}\sin 9^o$

$\dots$

$\sin 29^o\sin 31^o\sin 89^o=\frac{1}{4}\sin 87^o$

再「補漏拾遺」：

$\sin 30^o\sin 60^o\sin 90^o=\frac{\sqrt{3}}{4}$

把上面三十條式相乘，得

$P=\sin 1^o\sin 2^o\sin 3^o\dots \sin 88^o\sin 89^o\sin 90^o$

$=(\frac{1}{4})^{30}\sqrt{3}\sin 3^o\sin 6^o\sin 9^o\dots \sin 87^o$

$=(\frac{1}{4})^{30}\sqrt{3}(\sin 3^o\sin 57^o\sin 63^o)(\sin 6^o\sin 54^o\sin 66^o)\dots (\sin 27^o\sin 33^o\sin 87^o)\sin 30^o\sin 60^o$

繼續運用 (*)，

$=(\frac{1}{4})^{40}\cdot 3\sin 9^o\sin 18^o\sin 27^o\dots \sin72^o\sin 81^o$

初中知：

$=(\frac{1}{4})^{40}\cdot 3(\sin 9^o\cos 9^o)(\sin 18^o\cos 18^o)(\sin 27^o\cos 27^o)(\sin 36^o\cos 36^o)\sin 45^o$

M2 知：

$=(\frac{1}{4})^{42}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}\sin 18^o\sin 36^o\sin 54^o\sin 72^o$

$=(\frac{1}{4})^{43}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}\sin 36^o\sin 72^o$

$=(\frac{1}{4})^{43}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}\sin 36^o\cos 18^o$

然後，或有不同方式繼續，這裡用

$\sin 18^o=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ ……………….. (#)

易得

$\cos 18^o=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$

於是

$P=(\frac{1}{4})^{43}\cdot 3\sqrt{2}\sin 18^o\cos^2 18^o$

$=(\frac{1}{4})^{43}\cdot 3\sqrt{2}(\frac{\sqrt{5}-1}{4})(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4})^2$

$=\frac{\sqrt{90}}{2^{89}}$

當然還有其他做法，但要運用以前 pure mathematics 的知識：棣莫弗公式 (De Moivre’s formula)

$(\cos x+i\sin x)^n \equiv \cos nx+i\sin nx$

其中 $i=\sqrt{-1}$

（儘管本公式以 Abraham de Moivre 本人命名，他從未直接地將其發表過。From Wiki）

老實說，這不過是 pure mathematics 的簡單題目，重溫如下：

考慮等式

$x^{2n}=1$

$x^{2n}=\cos 2k\pi+i\sin 2k\pi$ 　（ $k=0,1,2,\dots$ ）

$\Rightarrow x=(\cos 2k\pi+i\sin 2k\pi)^{1/2n}=\cos \frac{k\pi}{n}+i\sin \frac{k\pi}{n}$ 　（ $k=0,1,2,\dots ,2n-1$ ）

即

$\cos \frac{k\pi}{n}+i\sin \frac{k\pi}{n}$ 　（ $k=0,\pm1,\pm2,\dots ,\pm(n-1),n$ ）是下式的根（roots）

$x^{2n}-1=0$

亦即因式分解之，曰

$x^{2n}-1 \displaystyle \equiv (x-1)(x+1)\prod_{k=1}^{n-1}(x-(\cos \frac{k\pi}{n}+i\sin \frac{k\pi}{n}))(x-(\cos \frac{k\pi}{n}-i\sin \frac{k\pi}{n}))$