懷古-開方2

公元前 8 世紀，古印度數學家 Baudhayana 給出以下結果：

$\displaystyle \sqrt{2} \simeq 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34}$

左邊約為 1.41421356237…

右邊計出 1.41421568627…，可見準確度達小數點後 5 位。

古人如何得出結果？

有人以所謂幾何方法解之。考慮兩個面積皆為 1 的正方形：

想像把其中一個切出一些長方形，和另一正方形拼砌，希望做出面積為 2 的正方形。比如，先把右邊正方形平分 3 份：

把 2 個長方形拼砌如下：

然後剪個小正方形：

填補過去：

大家應看到左邊大正方的邊長是 $\displaystyle 1+\frac{1}{3}$ 吧，但面積少於 2。要再用右邊餘下物料，拼砌出更大正方形。要如此，平分右邊 2 等份顯然不妥，試平分 4 份如下：

把 4 個長方形拼砌如下：

上圖面積為 2，底邊長 $\displaystyle 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}$ ，但外觀尚欠右上角小小正方形，才成為大正方形。

可見，邊長 $\displaystyle 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}$ 的正方形，其面積大於兩個單位正方形總和，即

$\displaystyle (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4})^2 > 2\Rightarrow 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4} > \sqrt{2}$

上圖，右上角小小正方形缺口邊長 $\displaystyle \frac{1}{12}$ ，面積為 $\displaystyle \frac{1}{144}$ ，

所以邊長為 $\displaystyle 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}$ 的正方形，要減去面積 $\displaystyle \frac{1}{144}$ 的東西，才能做出面積為 2 的正方形。

現考慮把兩個啡色窄長的長方形從邊長為 $\displaystyle 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}$ 的正方形「剪出來」，見下

使面積剛好是 $\displaystyle \frac{1}{144}$ ，故窄長長方形之闊度為

$\displaystyle w=\frac{1}{144} \div (2\times (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}))=\frac{1}{3\times 4\times 34}$

剪去窄長長方形後，餘下的正方形邊長為

$\displaystyle 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34}$

面積當然是

$\displaystyle (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34})^2$

由之前構作過程知

$\displaystyle (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34})^2=2+\frac{1}{144}-2\times (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4})w+w^2=2+w^2$

即

$\displaystyle (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34})^2 > 2$

亦即

$\displaystyle 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34} > \sqrt{2}$

當 $\displaystyle w^2$ 視為很小的話，就是 Baudhayana 的

$\displaystyle \sqrt{2} \simeq 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34}$

但聞說以上不過是後人猜測，更接近真相的是利用疊代（iteration）。

如果 $\displaystyle \sqrt{2}=x$ ，

那麼

$\displaystyle x^2=2$

$\displaystyle \Rightarrow x=\frac{2}{x}$

古人可能試試一個正數，比如 $\displaystyle x_0$ ，

如果它符合

$\displaystyle x_0=\frac{2}{x_0}$

那麼 $\displaystyle x_0$ 就是 $\sqrt{2}$

但如果

$\displaystyle x_0 \neq \frac{2}{x_0}$

則找 $\displaystyle x_0$ 及 $\displaystyle \frac{2}{x_0}$ 的平均數：

$\displaystyle x_1=\frac{1}{2}(x_0+\frac{2}{x_0})$

看看 $\displaystyle x_1$ 符合

$\displaystyle x_1=\frac{2}{x_1}$ 否？

若否，取

$\displaystyle x_2=\frac{1}{2}(x_1+\frac{2}{x_1})$

一般地，得以下疊代公式

$\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{2}{x_n})$

構作出數列

$\displaystyle x_0,x_1,x_2,\dots$

以迫近 $\displaystyle \sqrt{2}$

（注：修應用數學的同學，相信認得上述不過是定點疊代的最簡單題目，也記得如何測試收斂性吧～）

由上述疊代公式，得

$\displaystyle x_{n+1}-x_n=\frac{1}{2}(x_n+\frac{2}{x_n})-x_n=\frac{1}{2}(\frac{2}{x_n}-x_n)$

取甚麼正數 $\displaystyle x_0$ 作為第一個估計值？

上面圖像法初步，曾得出邊長 $\displaystyle 1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$ ，不妨取 $\displaystyle x_0=\frac{4}{3}$

於是

$\displaystyle x_1-x_0=\frac{1}{2}(\frac{2}{4/3}-\frac{4}{3})=\frac{1}{3\times 4}$

即

$\displaystyle x_1=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}$

再用疊代公式，代入 $\displaystyle x_1=\frac{17}{12}$ ，得

$\displaystyle x_2-x_1=\frac{1}{2}(\frac{2}{17/12}-\frac{17}{12})=-\frac{1}{3\times 4\times 34}$

即

$\displaystyle x_2=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34}$

看，很熟識的算式吧。若再進行下去，代入 $\displaystyle x_2=\frac{577}{408}$ ，可得

$\displaystyle x_3=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34}-\frac{1}{3\times 4\times 34\times 1154}$

即是計出

$\displaystyle x_3=$ 1.4142135623746899…

準確度已到小數點後 11 個位。

（有沒有發覺疊代公式右邊計出的結果形如 $\displaystyle \frac{\pm 1}{n}$ ，這是必然的嗎？）

古文明除了印度，當然不可忘記巴比倫，（網上可以）找到很多巴比倫泥板，當中的名為 YBC 7289 的泥板，藏著 $\displaystyle \sqrt{2}$ 的秘密：

(圖片來源：https://en.wikipedia.org/wiki/YBC_7289)

上面的楔形文字已翻譯成數字

1;24,51,10 和 ;42,25,35

再由當時使用的六十進制（sexagesimal system）把數字進一步翻譯成

$\displaystyle 1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^2}$

及

$\displaystyle \frac{42}{60}+\frac{25}{60^2}+\frac{35}{60^2}$

再按一按計算機，可怕地得出

1.41421296296

及

0.70710648148

原來它們分別是 $\displaystyle \sqrt{2}$ 及 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ 的近似值，且準確度分別達小數點後 5 及 6 個位！不要忘記，這些泥板約在公元前 1800 年至 1600 年被使用！古人是如何得出結果？是否也是用上文談的疊代公式？

我試用

$\displaystyle x_0=1+\frac{24}{60}=\frac{7}{5}$

開始，利用之前的疊代公式，得

$\displaystyle x_1=1+\frac{24}{60}+\frac{1}{70}$

及

$\displaystyle x_2=1+\frac{24}{60}+\frac{1}{70}-\frac{1}{13860}$

把

$\displaystyle \frac{1}{70}$ 及 $\displaystyle \frac{1}{13860}$ 寫成 60 進制（如何？其實唔難。），得

$\displaystyle \frac{1}{70}= \frac{51}{60^2}+\frac{25}{60^3}+\frac{42}{60^4}+\dots$

及

$\displaystyle \frac{1}{13860}= \frac{15}{60^3}+\frac{35}{60^4}+\dots$

於是

$\displaystyle x_2=1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{25-15}{60^3}+\frac{42-35}{60^4}+\dots\simeq 1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}$

正是泥板上顯示的結果！難道三千多年前的人已掌握這技術嗎？不知道。而泥板上的圖案大抵是個正方形及其對角線，而 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ 也即是 $\sqrt{2}$ 的一半，會否和半條對角線長度比例有關？上述結果相信在當時日常（比方說）工程上的使用，已是相當不錯吧。

比較「新」的發現應是泥板 P322 和三角函數有關，見

一場數學史爭論︰這塊古巴比倫泥板到底有何用？

有趣！

歷史被遺忘是可惜的，隨便貼首兒時經常聽的歌作結，人日快樂。

懷古-開方2

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