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pi的連分表達式

July 12, 2018, 11:52 pm

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把 $\pi$ 寫成連分數（continued fraction），方式甚多，以下是其中一種：

可以變成 M2 習題如下：

Define $\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2}dx$ .

(a) Show that $I_n+I_{n+1}=\frac{1}{2n+1}$ .

(b) Express $\displaystyle \frac{I_n+I_{n+1}}{I_{n+1}+I_{n+2}}$ in terms of n.

Define $\displaystyle a_n=\frac{I_{n+1}}{I_n}$ .

(c) Show that $a_0=\frac{4}{\pi}-1$ .

(d) Prove that $\displaystyle a_n=\frac{2n+1}{2+(2n+3)a_{n+1}}$ .

(e) Hence, show that

做 (e) 提示：由 a_0 出發，瘋狂地運用 (d)，即

a_0

$=\displaystyle \frac{1}{2+3a_1}$

$=\displaystyle \frac{1}{2+3\times \frac{3}{2+5a_2}}$

$=\displaystyle \frac{1}{2+\frac{3^2}{2+5\times \frac{5}{2+7a_3}}}$

$=\displaystyle \frac{1}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\dots}}}$

$\dots$

從略。

上月在推特見下式，想玩玩嗎？

隨便搜尋～
https://www.google.com/search?safe=strict&biw=1920&bih=925&tbm=isch&sa=1&ei=1BxIW5-UKo2JoASzgbioCA&q=pi+continued+fraction&oq=pi+continued+fraction&gs_l=img.3…0.0.0.12244396.0.0.0.0.0.0.0.0..0.0….0…1c..64.img..0.0.0….0.GXa0S_usVOM

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