core math 某題：標準差

把某統計資料集合，比如

以點圖（Dot plot）表示如下：

我們可以找出這集的標準差（standard deviation），電腦代勞，見下：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=standard+deviation+of+1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,4,4,4,5

好了，現有兩組資料，分別以紅藍兩種顏色表示如下：

問：兩組資料集的標準差相等嗎？

不用直接計算，紅組不過是把藍組對應點，右移 7 個單位，情況就如把同班學生的數學測驗分，每人都加 7 分，無損彼此間分數之參差，即標準差沒改變。

找電腦確認一下：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=standard+deviation+of+8,8,8,9,9,9,9,9,10,10,11,11,11,12

好了，如果點圖如下：

問：藍綠兩組資料集的標準差相等嗎？

在班中問過此例，學生也感猶疑。你認為怎樣？

先找電腦輸入資料

確定一下：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=standard+deviation+of+8,9,9,9,10,10,11,11,11,11,11,12,12,12

可知藍綠兩組資料集的標準差是相等的。

如何解釋這現象？會不會只是因為資料與資料的間距相同（相差一個單位）才會這樣？

讓我加多一對「對稱」點（和旁邊的資料間距為 0.5 者）如下：

請問，以上藍綠兩組資料集的標準差相等嗎？

藍組的標準差是

http://www.wolframalpha.com/input/?i=standard+deviation+of+1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,4,4,4,5,5.5

綠組的標準差是

http://www.wolframalpha.com/input/?i=standard+deviation+of+7.5,8,9,9,9,10,10,11,11,11,11,11,12,12,12

也是相等的。初步猜想，因兩組資料點的「分佈形狀」一樣，「離散程度」理應相同。

但如何證明或否證上述猜想？

（即如何使用數學說服同學？那天，我見部份沒有在堂上睡覺的學生滿臉狐疑，很想多談，但都是走過場算，少在堂上談這些無聊東西，在 blog 談算。）

先要知道，把整個資料點集左右平移，完全不會影響該集的標準差，標準差仍保持不變。

於是我可以把藍綠兩組資料點集平移到一個位置，使對稱軸落在 x=0 的位置，見下：

假設綠組的資料是

對稱地，藍組的資料便是

又假設綠組的平均數是 $\overline{x}$ ，

易知藍組的平均數是 $-\overline{x}$ （同學，證明一下）

於是，綠組的方差（variance）是

$\displaystyle \frac{1}{N}((x_1-\overline{x})^2f_1+(x_2-\overline{x})^2f_2 +\dots +(x_n-\overline{x})^2f_n)$

（其中 $N=f_1+f_2+\dots +f_n$ ）

而藍組的方差是

$\displaystyle \frac{1}{N}((-x_1-(-\overline{x}))^2f_1+(-x_2-(-\overline{x}))^2f_2 +\dots +(-x_n-(-\overline{x}))^2f_n)$

$=\displaystyle \frac{1}{N}((\overline{x}-x_1)^2f_1+(\overline{x}-x_2)^2f_2 +\dots +(\overline{x}-x_n)^2f_n)$

$=\displaystyle \frac{1}{N}((x_1-\overline{x})^2f_1+(x_2-\overline{x})^2f_2 +\dots +(x_n-\overline{x})^2f_n)$

可見藍綠組的方差相等，故它們的標準差也相同。

注：因這是 core mathematics 的東西，我逃避使用 summation sign 和更直接的方差公式：

$\sigma^2 =\frac{1}{N}\displaystyle \sum_{i=1}^nx_i^2f_i-\overline{x}^2$

core math 某題：標準差

Trending Articles

《沈冰自述——我和周永康的故事》全本

Moog - Subsequent 25

出售: 林憶蓮•回來愛的身邊 (東芝1A1頭版)

筆記 - 使用 PowerShell 清除停用 AD 帳號與 OU

df-dferh-01 中国区 Android 安装 Google Play Store 后报错的解决办法

「一棒接一棒、棒棒強棒」108學年度家長會長交接典禮

吸烟与MBTI类型判断捷径 (豆瓣 INFJ的奇幻之旅小组)

acermark龍璿國際展出多款包裝設備

枋寮北勢寮隆山宮睽違12年再辦迎王祭典

日本女优有村千佳COS集锦：狂三&黑白岩&亚丝娜&绫波丽

有遇到过这个问题么。/jsb-videoplayer.js not found, possible missing file.

MAS v2.8 magicgenius 汉化版 - 11.11更新

出售: Monster Cable Interlink Reference 2

福建佛教人士望云和尚(林斌)的九仙禅寺被强行收走，望云妈妈被赶出寺庙

R 语言中的OpenBLAS*和英特尔® 数学核心函数库的性能比较

[转载]煞貢、直星、人專吉日\金神七煞歌

HAKERS哈克士戶外 12月8~14日廠拍

OBS Studio 23.2.1 免安裝中文版 - 免費網路實況廣播軟體實況主必備軟體取代Fraps

<請教>行駛中安卓機會重新開機

Udp2raw-tunnel 及其一键安装脚本