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Channel: Quod Erat Demonstrandum
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一題多解

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數學可以帶出其中一個教訓:解決問題的辦法並非單一。

(不過有多少學生解完題目,會如此神心尋求另外解法?面對極度規範化的考題,方法多數固定,對一些同學來說,莫說一題多解,更多時是找不到解法。)

例子一

不知初中同學你會有多少辦法處理下題:

證明:r^2=pq

方法一:相似三角

\Delta ADC \sim \Delta BDC(A.A.)

\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{DC}

r^2=pq

方法二:畢氏定理

AB^2+BC^2=(p+q)^2

(p^2+r^2)+(q^2+r^2)=p^2+2pq+q^2

r^2=pq

方法三:面積及畢氏定理

[\Delta ABC]=[\Delta ABD]+[\Delta CBD]

\frac{1}{2}AB\times BC=\frac{1}{2}pr+\frac{1}{2}qr

\sqrt{p^2+r^2}\sqrt{q^2+r^2}=r(p+q)

(p^2+r^2)(q^2+r^2)=r^2(p^2+2pq+q^2)

p^2q^2+r^4=2pqr^2

(pq-r^2)^2=0

r^2=pq

總之捉到老鼠就係好貓吧~

例子二

x 值。

方法一:用三角學

設兩等長線段長 m,左邊小三角,角 4x 的對邊為 n;考慮 sine law,得

\frac{m}{\sin 5x}=\frac{n}{\sin 3x}

\frac{m}{\sin (5x+3x)}=\frac{n}{\sin 4x}

相除得

\frac{\sin 8x}{\sin 5x}=\frac{\sin 4x}{\sin 3x}

再去就是 M2 的內容了,上式會變為

\frac{2\cos 4x}{\sin 5x}=\frac{1}{\sin 3x}

\sin 5x=2\cos 4x\sin 3x

\sin 5x=\sin 7x-\sin x

\sin x=\sin 7x-\sin 5x

\sin x=2\sin(\frac{7x-5x}{2})\cos(\frac{7x+5x}{2})

\cos 6x=\frac{1}{2}

x=10^o

(由原題目知:3x+4x+5x < 180^o,即 x < 20^o

方法二:不用三角學

再貼多次題目圖形:

把圖畫準少少如下,其中 AC=DB\angle CAB=4x\angle ABC=3x\angle BCD=5x

DB 上定點 E,使 EC=CA;得 \angle DEC=\angle DAC=4x

又在 CE 上定點 G,使 GE=EB;得 \angle EBG=\angle EGB=2x

\angle GBC=\angle EBC-\angle EBG=3x-2x=x

\angle GCB=\angle EGB-\angle GBC=2x-x=x

於是 \angle GBC=\angle GCB,亦即 GB=GC

另外,\angle DCE=\angle DCB-\angle GCB=5x-x=4x

於是 DC=DE=DB-EB=AC-GE=CE-GE=GC

好了,畫出 \Delta GDB 的外圓如下:

其中 F 是外圓心。

\angle DFG=2\angle DBG=2(2x)=4x

由於 CDFG 是鷂形且 \angle DCG=\angle DFG,可證

CDFG 是菱形,於是外圓半徑 DF=DC,所以

FG=FB=DF=DC=CG=GB,亦即 \Delta FGB 是等邊三角形。

\angle GFB=60^o,從而

\angle GDB=60^0/2=30^o

又因 CDFG 是菱形,設 CFDG 交於 H

\angle DHC=90^o\angle DCH=4x/2=2x

\angle CDG=90^o-2x

\angle ADC=\angle DCG+\angle DEC=4x+4x=8x

考慮

\angle ADC+\angle CDG+\angle GDB=180^o

\Rightarrow 8x+(90^o-2x)+30^o=180^o

\Rightarrow x=10^o

終了,唔寫 reasons。

或應有更好方法,大家想想了。



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